Disequazioni letterali di primo grado

La questione che riguarda le disequazioni letterali di primo grado è molto delicata, non tanto per le difficoltà concettuali, quanto per la scrupolosità con cui deve essere condotta la discussione che sarà tanto più vasta quanto maggiore è il numero dei parametri che compaiono nella disequazione.

 

Si comprenderà che non ci sono regole fisse, ciascuna disequazione letterale fa capo a sé e solo con qualche esempio è possibile individuare un modo di operare sempre valido, qualunque sia la disequazione letterale da risolvere.

 

 

Metodo di risoluzione delle disequazioni letterali di primo grado

 

L'unica regola di partenza è quella appresa all'inizio dello studio delle disequazioni nella lezione introduttiva su cos'è una disequazione:

 

- se si moltiplicano o si dividono entrambi i membri della disequazione per una stessa quantità positiva, la disequazione conserva il verso.

 

- se si moltiplicano o si dividono entrambi i membri della disequazione per una stessa quantità negativa, la disequazione cambia verso.

 

Detto questo, vediamo come ci si deve comportare quando nella disequazione compaiono coefficienti letterali. Faremo molti esempi che saranno ordinati per difficoltà ;) 

 

 

Esempio 1 - Disequazione con parametro come termine noto

 

10x \leq 5a+1

 

Il coefficiente dell'incognita è un numero positivo (10). Possiamo pertanto, senza fare alcuna discussione, dividere ambo i membri per 10 (lasciando inalterato il verso) così da avere la famiglia di soluzioni:

 x \le \frac{5a+1}{10}

 

Nota bene: se avessimo avuto la disequazione:

 

-10x \le 5a+1

 

si sarebbe potuto benissimo dividere per (-10) senza fare, anche in questo caso, alcuna discussione sul parametro. Però, poiché si sta dividendo per un numero negativo, bisogna cambiare il verso. La famiglia delle soluzioni in questo caso sarà:

 

x \geq \frac{5a+1}{-10} \ \to \ x \geq -\frac{5a+1}{10}

 

Esempio 2 - Disequazione letterale con parametro come coefficiente dell'incognita

 

(a-2)x \textgreater 3

 

Siamo di fronte ad una disequazione letterale di primo grado in quanto oltre all'incognita x compare il parametro a

 

Per risolverla, così come visto nella lezione sulle disequazioni di primo grado sarebbe sufficiente dividere ambo i membri per il coefficiente della x, ovvero per (a-2)

 

Tuttavia, poiché non si conosce il valore di a, non sappiamo se (a-2) è una quantità positiva, negativa o nulla. Dobbiamo perciò distinguere 3 casi:

 

\bullet \ \mbox{Se} \ a-2 \textgreater 0 \ \to \ a \textgreater 2:

 

Possiamo dividere ambo i membri per la quantità positiva (a-2) lasciando inalterato il verso della disequazione ed avere quindi la soluzione:

 

x \textgreater \frac{3}{a-2}

 

\bullet \ \mbox{Se} \ a-2 \textless 0 \ \to \ a \textless 2:

 

Possiamo, anche in questo caso dividere ambo i membri per (a-2) che però è una quantità negativa. Quindi cambierà il verso della disequazione:

 

x \textless \frac{3}{a-2}

 

\bullet \ \mbox{Se} \ a-2 = 0 \ \to \ a = 2:

 

avremo 0x \textgreater 3 \ \to \ 0 \textgreater 3 che è, ovviamente, una disuguaglianza falsa.

 

Ricapitolando, si ha:

 

\begin{cases}\mbox{Se} \ a \textgreater 2: \ x \textgreater \frac{3}{a-2} \\ \mbox{Se} \ a \textless 2: \ x \textless \frac{3}{a-2} \\ \mbox{Se} \ a=2: \ \mbox{disequazione impossibile} \end{cases}

 

 

Esempio 3 - Disequazione letterale con parametro a denominatore

 

\frac{2x + a}{a} - 1 \textless \frac{x + 2a}{2a} + 2

 

Innanzitutto, essendo in presenza di un denominatore variabile (2a) dobbiamo imporre che esso sia diverso da zero, altrimenti la nostra disequazione perderebbe di significato. Poniamo dunque:

 

2a \neq 0 \ \to \ a \neq 0

 

Portiamo ora tutto a primo membro:

 

\frac{2x + a}{a} - 1 - \frac{x + 2a}{2a} - 2 \textless 0

 

\frac{2x + a}{a} - \frac{x + 2a}{2a} - 3 \textless 0

 

e calcoliamo il denominatore comune:

 

\frac{2(2x+a)-(x+2a)-3(2a)}{2a} \textless 0

 

\frac{4x+2a-x-2a-6a}{2a} \textless 0

 

\frac{3x-6a}{2a} \textless 0

 

Potremmo ora cadere in tentazione e moltiplicare ambo i membri per 2a in modo da far fuori il denominatore, commettendo così un grave errore. Ricordiamoci infatti che non possiamo moltiplicare a cuor leggero, senza sapere se la quantità per cui stiamo moltiplicando è positiva o negativa. (Abbiamo già posto all'inizio che deve essere diversa da zero).

 

Distinguiamo quindi due casi:

 

\bullet \ \mbox{Se} \ 2a \textgreater 0 \ \to \ a \textgreater 0:

 

possiamo moltiplicare ambo i membri per la quantità positiva 2a così da avere:

 

2a \cdot \frac{3x-6a}{2a} \textless 0 \cdot (2a) \ \to \ 3x-6a \textless 0 \ \to \ 3x \textless 6a \ \to \ x \textless \frac{6a}{3} \ \to \ x \textless 2a

 

\bullet \ \mbox{Se} \ 2a \textless 0 \ \to \ a \textless 0:

 

possiamo, anche ora moltiplicare ambo i membri per 2a cambiando però il verso della disequazione (in quanto è un quantità negativa):

 

2a \cdot \frac{3x-6a}{2a} \textgreater 0 \cdot (2a) \ \to \ 3x-6a \textgreater 0 \ \to \ 3x \textgreater 6a \ \to \ x \textgreater \frac{6a}{3} \ \to \ x \textgreater 2a

 

Ricapitolando:

 

\begin{cases}\mbox{Se} \ a \textless 0: \ x \textgreater 2a \\ \mbox{Se} \ a \textgreater 0: \ x \textless 2a \\ \mbox{Se} \ a=0 \ \mbox{perde di significato} \end{cases}

 

 

Esempio 4 - Disequazione letterale con ampia discussione del segno

 

\left(\frac{a-1}{a+1}\right)x \geq 1

 

Innanzitutto tale disequazione è definita per

 

a+1 \neq 0 \ \to \ a \neq - 1

 

A questo punto dovremmo moltiplicare ambo i membri per \frac{a+1}{a-1}, ma prima di farlo dobbiamo studiarne il segno:

 

 

Studio del segno in una disequazione con parametro

 

 

Distinguiamo allora i vari casi:

 

\bullet \ \mbox{Se} \ a \textless -1: \ \frac{a+1}{a-1} \textgreater 0

 

in tale eventualità possiamo moltiplicare ambo i membri per la quantità positiva \frac{a+1}{a-1} lasciando inalterato il verso della disequazione:

 

\frac{a+1}{a-1} \cdot \left(\frac{a-1}{a+1}\right)x \geq 1 \cdot \frac{a+1}{a-1} \ \to \ x \geq \frac{a+1}{a-1}

 

\bullet \ \mbox{Se} \ a = -1: \ \frac{a+1}{a-1} = 0

 

In questo caso la disequazione diventa: 0x \geq 1 che è, ovviamente, impossibile.

 

\bullet \ \mbox{Se} \ -1 \textless a \textless 1 : \ \frac{a+1}{a-1} \textless 0

 

Qui possiamo moltiplicare ambo i membri per \frac{a+1}{a-1} a patto di cambiare il verso della disequazione (in quanto stiamo moltiplicando per una quantità negativa):

 

\frac{a+1}{a-1} \cdot \left(\frac{a-1}{a+1}\right)x \leq 1 \cdot \frac{a+1}{a-1} \ \to \ x \leq \frac{a+1}{a-1}

 

\bullet \ \mbox{Se} \ a = 1: \ \frac{a+1}{a-1} \ \mbox{perde di significato}

 

\bullet \ \mbox{Se} \ a \textgreater 1: \ \frac{a+1}{a-1} \textgreater 0

 

Moltiplicando per \frac{a+1}{a-1} avremo:

 

\frac{a+1}{a-1} \cdot \left(\frac{a-1}{a+1}\right)x \geq 1 \cdot \frac{a+1}{a-1} \ \to \ x \geq \frac{a+1}{a-1}

 

Ricapitolando:

 

\begin{cases} \mbox{Se} \ a \textless -1: \ x \geq \frac{a+1}{a-1} \\ \mbox{Se} \ a=-1: \ \mbox{disequazione impossibile} \\ \mbox{Se} \ -1 \textless a \textless 1: \ x \leq \frac{a+1}{a-1} \\ \mbox{Se} \ a=1: \ \mbox{la disequazione perde di significato} \\ \mbox{Se} \ a \textgreater 1: \ x \geq \frac{a+1}{a-1} \end{cases}

 

 

Esempio 5 - Disequazione letterale con due parametri

 

\frac{ax - (b + 1)}{b} \textless 0

 

Iniziamo, come ormai avrete capito, con l'imporre che il denominatore sia diverso da zero, ovvero: 

 

 b\neq 0

 

per poter moltiplicare ambo i membri per b e quindi togliere il denominatore, dobbiamo distinguere due casi:

 

1\bullet \ \mbox{Se} \ {\color{red}b \textgreater 0}:

 

b \cdot \frac{ax-(b+1)}{b} \textless 0 \cdot b \ \to \ ax-(b+1) \textless 0

 

A questo punto possiamo portare il termine -(b+1) a secondo membro (cambiandolo di segno):

 

ax \textless (b+1)

 

Ora, dobbiamo dividere per a ma, come ormai avrete capito, non possiamo farlo a cuor leggero. Dobbiamo quindi distinguere tre casi:

 

1A \bullet \ \mbox{Se} \ a \textgreater 0:

 

dividiamo ambo i membri per a lasciando inalterato il verso (visto che stiamo dividendo per un numero positivo):

x \textless \frac{b+1}{a}

 

1B \bullet \ \mbox{Se} \ a = 0:

 

la disequazione diventa

 

0x \textless b+1 \ \to \ 0 \textless b+1

 

che è sempre verificata essendo (b+1) un numero positivo (ricordate che siamo ancora nel caso (b \textgreater 0)

 

1C \bullet \ \mbox{Se} \ a \textless 0:

 

dividiamo per a cambiando il verso (visto che stiamo dividendo per un numero negativo):

 

x \textgreater \frac{b+1}{a}

 

Non abbiamo ancora finito! Dobbiamo terminare la discussione del parametro b.

 

2\bullet \ \mbox{Se} \ {\color{red}b \textless 0}:

 

Moltiplichiamo per b cambiando il verso:

 

b \cdot \frac{ax-(b+1)}{b} \textgreater 0 \cdot b \ \to \ ax-(b+1) \textgreater 0

 

Ora, come fatto prima portiamo il termine -(b+1) a secondo membro (cambiandolo di segno):

 

ax \textgreater (b+1)

 

Ora, dobbiamo dividere per a e per farlo dobbiamo quindi distingure tre casi:

 

2A \bullet \ \mbox{Se} \ a \textgreater 0:

 

Il verso rimane inalterato (visto che stiamo dividendo per un numero positivo):

 

x \textgreater \frac{b+1}{a}

 

2B \bullet \ \mbox{Se} \ a \textless 0:

 

possiamo dividere per a a patto di cambiare il verso (visto che stiamo dividendo per un numero negativo)

 

x \textless \frac{b+1}{a}

 

2C \bullet \ \mbox{Se} \ a = 0:

 

ci riconduciamo alla forma

 

0x \textgreater b+1 \ \to \ 0 \textgreater b+1

 

Attenzione ora a non giungere a conclusioni affrettate! Siamo nel caso b \textless 0, quindi:

 

b+1 \begin{cases} \textgreater 0 \ \mbox{se} \ b \textgreater -1 \\ =0 \ \mbox{se} \ b=-1 \\ \textless 0 \ \mbox{se} \ b \textless -1 \end{cases}

 

Alla luce di ciò:

 

0 \textgreater b+1:

 

- è sempre verificata se b+1 \textless 0, \ \mbox{cioe' se} \ b \textless -1

 

- è impossibile se b+1 \geq 0 \ \mbox{cioe' se} \ b \geq -1

 

Volendo fare uno schemino di riepilogo:

 

\begin{cases}\mbox{Se} \ b=0: \ \mbox{perde di significato} \\ \mbox{Se} \ b \textgreater 0 \ \wedge \ a \textgreater 0: \ x \textless \frac{b+1}{a} \\ \mbox{Se} \ b \textgreater 0 \ \wedge \ a = 0: \ \mbox{sempre verificata} \\ \mbox{Se} \ b \textgreater 0 \ \wedge \ a \textless 0: \ x \textgreater \frac{b+1}{a} \\ \mbox{Se} \ b \textless 0 \ \wedge \ a \textgreater 0: \ x \textgreater \frac{b+1}{a} \\ \mbox{Se} \ b \textless 0 \ \wedge \ a \textless 0: \ x \textless \frac{b+1}{a} \\ \mbox{Se} \ b \textless -1 \ \wedge \ a = 0: \ \mbox{sempre verificata} \\ \mbox{Se} \ b \geq -1 \ \wedge \ a = 0: \ \mbox{impossibile} \end{cases} 

 

Un po' tosta ma molto utile per essere sicuri di aver appreso appieno le idee di fondo! Tongue

 

 


 

In caso di dubbi, problemi o perplessità non esitate a contattarci!

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe carichino (Galois)

 

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