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Disequazioni con valore assoluto

Le disequazioni con valore assoluto, o in cui sono presenti diversi valori assoluti (o moduli) sono probabilmente il primo ostacolo serio che uno studente delle scuole superiori incontra. Sono state moltissime le discussioni che hanno avuto come protagonista queste "piaghe" della Matematica Laughing. Presa coscienza di ciò, abbiamo deciso di pubblicare una lezione dedicata a questo tipo di disequazioni, nella speranza che l'argomento diventi simpatico. Come nel caso delle equazioni con i moduli, seguiremo uno schema.

 

Disequazioni elementari con i valori assoluti

 

Consideriamo una espressione algebrica, che chiamiamo genericamente A(x), che ha per campo di esistenza l'insieme \mathcal{D} e sia k un numero reale qualsiasi. Definiamo disequazioni elementari con i valori assoluti tutte quelle che si presentano nella forma:

 

|A(x)|< k,\quad |A(x)|\le k,\quad |A(x)|\ge k,\quad |A(x)|> k

 

Vediamo i metodi di risoluzione distinguendo vari casi:

 

 

Disequazioni con valore assoluto ed elementari, del tipo A(x)< k

 

 

1) se k\le 0 allora

 

|A(x)|< k non ammette soluzioni.

 

Diremo che la disequazione è impossibile, o in modo equivalente, che l'insieme delle soluzioni è vuoto: S= \emptyset.

 

La spiegazione di questo fatto è praticamente immediata. Ricordiamo che il valore assoluto restituisce una quantità non negativa di conseguenza non può essere minore di una quantità negativa, quale è k.

 

 

2) Se k> 0 allora:

 

|A(x)|< k è equivalente al sistema \begin{cases}A(x)< k\\ A(x)> -k\end{cases}

 

Ad esempio, per quanto appena detto

 

|x-1| < 0

|x^2-2x+1| < -3

 

non ammettono soluzioni, mentre

 

|x-1| < 2 \ \mbox{equivale a} \ \begin{cases}x-1 < 2 \\ x-1 > -2 \end{cases}

 

 

Disequazioni con valore assoluto ed elementari, del tipo |A(x)|\le k

 

 

1) se k< 0 si ha che:

 

|A(x)|\le k non ha soluzioni

 

Questo vuol dire che l'insieme delle soluzioni è vuoto: S=\emptyset. La giustificazione è identica a quella del caso precedente, il valore assoluto non può essere minore o uguale ad un valore negativo.

 

 

2) se k=0 la disequazione

 

|A(x)|\le 0 è equivalente all'equazione A(x)=0

 

Vediamo il perché. Affermare che |A(x)|\le 0 è logicamente equivalente a dire

 

|A(x)|< 0 \ \mbox{oppure} \ |A(x)|= 0

 

Dal  che |A(x)|< 0 non ha soluzioni.

 

Quello che ci rimane è l'equazione |A(x)|= 0 e per definizione di valore assoluto si ha che

 

|A(x)|= 0\iff A(x)= 0.

 

 

3) se k> 0 allora

 

|A(x)|< k è equivalente al sistema \begin{cases}A(x)\leq k\\ A(x)\geq -k\end{cases}

 

 

Disequazioni con valore assoluto ed elementari, della forma |A(x)|\ge k

 

 

1) Se k\le 0 , la disequazione


|A(x)|\ge k è sempre soddisfatta

 

e l'insieme delle soluzioni coincide con il campo d'esistenza S= \mathcal{D}.

 

La motivazione è sempre la stessa Laughing, il valore assoluto è sempre maggiore o uguale a 0.

 

 

2) Se k>  0 allora la disequazione diventa 

 

|A(x)|\ge k ed è equivalente a A(x)\le -k \ \vee \ A(x)\ge k.

 

 

Disequazione con valore assoluto ed elementari, della forma |A(x)|> k

 

 

1) Se k< 0 la disequazione:

 

|A(x)|> k è sempre soddisfatta.

 

Scriveremo che l'insieme soluzione coincide con il campo d'esistenza, cioè, S= \mathcal{D}.

 

 

2) Se k= 0 la disequazione diventa |A(x)|> 0 ed è logicamente equivalente a

 

|A(x)|\ge 0 \ \mbox{e} \ |A(x)|\ne 0.

 

Dal caso 1, |A(x)|\ge 0 è sempre soddisfatta. Quella che quindi ha peso nella risoluzione è:

 

|A(x)|\ne 0 che conduce all'equazione  A(x)\ne 0. In definitiva:

 

|A(x)|> 0 è equivalente all'equazione A(x)\ne 0

 

 

3) Se k> 0 allora la disequazione

 

|A(x)|> k è equivalente a A(x)< -k \ \vee \ A(x)> k

 

Abbiamo concluso la trattazione teorica delle disequazioni elementari, adesso facciamo alcuni esempi :)

 

 

Esempio

 

Si risolva la disequazione con valore assoluto data da

 

|x^2-1|\ge 1


Ci troviamo di fronte una disequazione della forma |A(x)|\ge k con k>  0 ed è equivalente a

 

x^2-1\le-1 \ \vee \ x^2-1\ge 1


La prima disequazione, x^2-1\le -1 diventa x^2\le 0\iff x= 0.

 

La seconda disequazione, x^2-1\ge 1 conduce alla soluzione  x\le -\sqrt{2} \ \vee \  x\ge \sqrt{2}


Pertanto l'insieme soluzione della disequazione di partenza conduce a

 

S:\ x\le-\sqrt{2} \ \vee \ x= 0 \ \vee \ x\ge \sqrt{2}

 

 

La regola d'oro è quindi capire che tipo di disequazione abbiamo di fronte. 

 

 

Abbiamo finito la parte che riguarda le disequazioni elementari. Qui di seguito prenderemo in considerazione quelle disequazioni che si presentano nella forma:

 

|A(x)| \gtreqless B(x) 

 

ovvero quelle disequazioni con valore assoluto che hanno secondo non più un numero reale ma una quantità che contiene l'incognita.

 

Disequazioni non elementari con un valore assoluto

 

Se siamo di fronte ad una disequazione del tipo:

 

|A(x)| \gtreqless B(x)

 

i passi da seguire per risolverla senza commettere errori sono i seguenti:

 

A) si studia il segno di A(x), ovvero della funzione all'interno del valore assoluto.

 

B) Si disegna la tabella dei segni grazie alla quale saranno ben definiti i vari intervalli su cui dovremo studiare la disequazione.

 

C) Per ciascun intervallo scriveremo un sistema formato da due disequazioni:

 

- la prima sarà l'intervallo in cui stiamo lavorando,

 

- la seconda sarà la nuova forma assunta dalla disequazione di partenza scritta sfruttando la definizione di valore assoluto all'interno dell'intervallo in cui ci troviamo.

 

D) la soluzione della nostra disequazione sarà data dall'unione delle soluzioni dei sitemi studiati al punto C). 

 

 

Il seguente esempio chiarirà per bene come si deve procedere:

 

\bullet \ |2x| \geq 4x^2-2

 

A. Iniziamo con lo studiare il segno di A(x)=2x:

 

2x \geq 0 \ \iff \ x \geq 0

 

B. Disegniamo quindi la tabella del segno (la linea continua indica dov'è positivo, quella tratteggiata dov'è negativo ed il pallino pieno dove si annulla):

 

 Tabella del segno per una disequazione con un valore assoluto

 

 

Si sono così formati due intervalli: x < 0 \ \mbox{e} \ x \geq 0

 

C. Nell'intervallo x < 0, per definizione di valore assoluto si ha che |2x|=-2x, mentre, nell'intervallo x \geq 0 potremo scrivere |2x|=2x.

 

Scriveremo allora i due sistemi:

 

\mbox{S}_1: \ \begin{cases}x < 0 \\ -2x \geq 4x^2-2 \end{cases} \ \ \ \mbox{S}_2: \ \begin{cases}x \geq 0 \\ 2x \geq 4x^2-2 \end{cases}

 

Ovvero, sistemandoli un pochino:

 

\mbox{S}_1: \ \begin{cases}x < 0 \\  4x^2+2x-2 \leq 0 \end{cases} \ \ \ \mbox{S}_2: \ \begin{cases}x \geq 0 \\ 4x^2-2x-2 \leq 0 \end{cases}

 

Risolviamoli iniziando da:

 

\mbox{S}_1: \ \begin{cases}x < 0 \\  4x^2+2x-2 \leq 0 \end{cases}

 

Siamo di fronte ad un sistema di disequazioni - click!

 

La prima disequazione: x < 0 è già a posto.

 

La seconda: 4x^2+2x-2 \leq 0 è una disequazione di secondo grado.

 

L'equazione di secondo grado ad essa associata:

 

4x^2+2x-2=0

 

ha come soluzioni:

 

x_{1/2}=\frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{4}=\frac{-1 \pm 3}{4}

 

da cui

 

x_1=-1, \ x_2=\frac{1}{2}

 

(abbiamo utilizzato la formula del delta quarti).

 

La nostra disequazione sarà quindi soddisfatta per: -1 \leq x \leq \frac{1}{2}.

 

Il nostro sistema è:

 

\mbox{S}_1: \ \begin{cases}x < 0 \\ -1 \leq x \leq \frac{1}{2}\end{cases}

 

che ha come soluzioni {\color{red} \mbox{S}_1:\ -1\leq  x < 0} come si può vedere dalla seguente tabella risolutiva:

 

 

Soluzioni primo sistema di disequazioni

 

 

Passiamo ora al secondo ed ultimo sistema:

 

\mbox{S}_2: \ \begin{cases}x \geq 0 \\ 4x^2-2x-2 \leq 0 \end{cases}

 

Procedendo come fatto per il primo sistema avremo:

 

\mbox{S}_2: \ \begin{cases}x \geq 0 \\ -\frac{1}{2}\leq x \leq 1 \end{cases}

 

da cui:

 

 

Soluzione secondo sistema di disequazioni

 

 

ovvero le soluzioni del secondo sistema sono date da: {\color{blue}\mbox{S}_2:\ 0\leq x \leq 1}.

 

D. Per trovare le soluzioni della nostra disequazione di partenza non ci rimane altro da fare se non unire le soluzioni dei due sistemi. Per farlo riportiamole in una tabella, sulla stessa linea (in rosso le soluzioni del primo sistema, in blu quelle del secondo):

 

 

Unione delle soluzioni dei due sistemi di disequazioni

 

 

La nostra disequazione di partenza è quindi soddisfatta per -1 \leq x \leq 1.

 

Volendo utilizzare la notazione con gli intervalli: \mbox{S}=[-1,1]

 

In caso di dubbi leggi la lezione introduttiva sulle disequazioni dove abbiamo spiegato e visto svariati esempi su come rappresentare le soluzioni di una disequazioni con gli intervalli.

 

Passiamo ora all'ultima sezione nella quale tratteremo le disequazioni che più mettono in crisi gli studenti: le disequazioni con più valori assoluti.

 

Disequazioni con più valori assoluti


Vediamo ora il caso delle disequazioni che hanno più di un valore assoluto, per cui dovremo percorrere i seguenti passaggi:


A) Studiamo i segni degli argomenti di tutti i valori assoluti.

 

B) Creiamo la tabella dei segni tramite la quale determineremo gli intervalli in cui studieremo la disequazione.

 

C) Per ciascun intervallo, riscriviamo la disequazione sfruttando la definizione di valore assoluto, scriviamo e determiniamo le soluzioni dei vari sistemi che si vengono così a formare.

 

D) L'insieme soluzione della disequazione di partenza è dato dall'unione delle soluzioni dei sistemi trovati nel passo 3).

 

Esempio di disequazione con più valori assoluti

 

Vogliamo risolvere la disequazione:

 

|x-1|\ge |x^2-1|

 

A. Studiamo i segni degli argomenti dei valori assoluti:

 

x-1\ge 0\iff x\ge 1

 

x^2-1\ge 0\iff x\le -1 \ \vee \ x\ge 1

 

B. Disegnamo la tabella dei segni 

 

 

Tabella dei segni dei moduli per una disequazione con valori assoluti

 

 

Da essa, estrapoliamo i tre intervalli x< -1,\ -1\le x< 1,\ x\ge 1.

 

Avremo quindi tre sistemi di disequazioni.

 

C. Nell'intervallo x< -1 abbiamo

 

\begin{array}{l c l c} x-1 < 0 & \mbox{pertanto} & |x-1|=-(x-1)=-x+1 \\ \\ x^2-1 \ge 0 & \mbox{pertanto} & |x^2-1|=x^2-1 & \end{array}

 

e possiamo riscrivere la disequazione come:

 

-x+1\ge x^2-1\iff x^2+x-2\le 0

 

 

Nell'intervallo -1\le x<1 risulta

 

x-1\le 0 \ \mbox{e} \ x^2-1\le 0

 

Di conseguenza

 

|x-1|= -x+1 \ \mbox{e} \ |x^2-1|= 1-x^2

 

e la disequazione diventa

 

1-x\ge 1-x^2\iff x^2-x\ge 0

 

 

Nel terzo ed ultimo intervallo x\ge 1 abbiamo

 

x-1\ge 0 \ \mbox{e} \ x^2-1\ge 0

 

dunque la disequazione diventa

 

x-1\ge x^2-1\ \mbox{ovvero} \ x^2-x\le 0.

 

 

Abbiamo così tre sistemi di disequazioni:

 

\mbox{S}_1: \ \begin{cases}x< -1 \\ x^2+x-2 \leq 0 \end{cases}, \ \ \ \mbox{S}_2: \ \begin{cases}-1\leq x < 1 \\ x^2-x \geq 0 \end{cases}, \ \ \ \mbox{S}_3: \ \begin{cases}x\geq 1 \\ x^2-x \leq 0 \end{cases}

 

Risolviamoli!

 

\mbox{S}_1: \ \begin{cases}x< -1 \\ x^2+x-2 \leq 0 \end{cases}

 

la prima disequazione è a posto. La seconda disequazione è soddisfatta per:

 

x^2+x-2 \leq 0 \iff -2\leq x \leq 1

 

Pertanto:

 

\mbox{S}_1: \ \begin{cases}x< -1 \\ -2 \leq x \leq 1 \end{cases}

 

Intersecando le due soluzioni avremo:

 

 

Intersezione delle soluzioni di una disequazione con i valori assoluti

 

 

Ovvero: {\color{red}\mbox{S}_1: -2\le x< -1}

 

 

Passiamo ora al secondo sistema:

 

\mbox{S}_2: \ \begin{cases}-1\leq x < 1 \\ x^2-x \geq 0 \end{cases}

 

La seconda disequazione è soddisfatta per

 

x^2-x \geq 0 \iff x \leq 0 \ \vee \  \geq 1

 

e quindi

 

\mbox{S}_2: \ \begin{cases}-1\leq x < 1 \\ x \leq 0 \ \vee \ x \geq 1 \end{cases}

 

 

Soluzioni parziali di una disequazione con i valori assoluti

 

 

Dal grafico capiamo che il secondo sistema ha come soluzione {\color{blue}\mbox{S}_2: -1\le x\le 0}.

 

 

Passiamo infine all'ultimo sistema di disequazioni:

 

\mbox{S}_3: \ \begin{cases}x\geq 1 \\ x^2-x \leq 0 \end{cases}

 

da cui, procedendo come visto nei casi precedenti

 

\mbox{S}_3: \ \begin{cases}x\geq 1 \\ 0 \leq x \leq 1 \end{cases}

 

intersechiamo le soluzioni

 

 

Ancora sulle soluzioni parziali di una disequazione con i valori assoluti

 

 

Abbiamo determinato la soluzione del terzo sistema: {\color{DarkOrange}\mbox{S}_3=\{1\}}.

 

 

D. Non ci rimane altro che unire gli insiemi delle soluzioni dei singoli sistemi per ottenere l'insieme soluzione della disequazione di partenza. Per farlo rappresentiamo sulla stessa linea le soluzioni dei tre sistemi (in rosso quelle del primo, in blu quelle del secondo e in arancione quelle del terzo):

 

 

Unione delle soluzioni di una disequazione con i valori assoluti

 

 

Dal grafico capiamo che l'insieme soluzione è dato da

 

\mbox{S}={\color{red}\mbox{S}_1} \cup {\color{blue}\mbox{S}_2} \cup {\color{DarkOrange}\mbox{S}_3}=-2 \leq x \leq 0 \ \vee \ x=1

 

Volendo utilizzare la notazione con gli intervalli:

 

\mbox{S}=[-2,0] \cup \{1\}

 

 


 

 

Bene! Abbiamo terminato la lezione. Speriamo vivamente che vi sia stata utile, in ogni caso potrete sempre fare una veloce ricerca, abbiamo risolto molte disequazioni con valori assoluti, c'è solo l'imbarazzo della scelta. Se questo non fosse sufficiente a colmare le lacune, potete aprire una nuova discussione.

 

 

Alla prossima!

Salvatore Zungri (a.k.a Ifrit)

 

 

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