Disequazioni con la regola dei segni

Dopo aver passato in rassegna i metodi di risoluzione dei vari tipi di disequazioni, vogliamo occupiarci della regola dei segni per la risoluzione delle disequazioni. In particolare vedremo quale tipo di disequazioni possiamo risolvere con tale metodo e come comportarci, corredando il tutto come di consueto con svariati esempi. Wink

 

Quando applicare la regola dei segni per le disequazioni

 

Per trovare l'insieme delle soluzioni di una disequazione si procede con il metodo dello studio del segno solo quando, una volta ridotta in forma normale, essa si presenta della forma

 

\frac{N(x)}{D(x)} \gtreqless 0

 

oppure

 

\mbox{(fattore 1)(fattore 2)} \cdots \mbox{(fattore n)} \gtreqless 0

 

In parole povere la regola dei segni si applica per la risoluzione delle disequazioni fratte e delle disequazioni prodotto, ossia di quelle disequazioni che sono formate da una serie di prodotti a primo membro ed hanno uno zero a secondo membro. Ad esempio

 

\frac{x^2-5x+6}{x}\ge 0; \ \ \ 7x(x^2+1)(x+5)(x^2+8x-7) \le 0; \ \ \ 5(x-1)\log(x)>0

 

sono tre disequazioni prodotto che si risolvono utilizzando la regola dello studio dei segni, mentre

 

(x^2-4)(x-3)<e^x; \ \ \ x+2\ge \log(x)

 

non possono essere risolte con tale metodo.

 

 

Nota bene: qui di seguito tratteremo solamente il caso delle disequazioni prodotto, dal momento che le disequazioni fratte sono state già trattate in una delle precedenti lezioni.

 

Metodo del segno per disequazioni prodotto

 

Come già anticipato, diremo disequazioni prodotto quelle disequazioni che si presentano nella forma 

 

\mbox{(fattore 1)(fattore 2)} \cdots \mbox{(fattore n)} \gtreqless 0

 

Badate bene che non importa di che natura siano i vari fattori. Per trovare l'insieme delle soluzioni di questo genere di disequazioni si procede nel modo seguente:

 

 

1) si deve imporre (indipendentemente dal verso del simbolo di disequazione):

 

\begin{matrix}\mbox{(fattore 1)} \ge 0 \\ \mbox{(fattore 2)} \ge 0 \\ ....... \\ \mbox{(fattore n)}\ge 0 \end{matrix}

 

se nel verso della disequazione è compreso anche l'uguale. Se invece siamo in presenza di una disuaglianza stretta (ovvero > o <) indipendentemente dal verso imporremo

 

\begin{matrix}\mbox{(fattore 1)} > 0 \\ \mbox{(fattore 2)} > 0 \\ ....... \\ \mbox{(fattore n)}> 0 \end{matrix}

 

Cosa stiamo facendo? Stiamo semplicemente studiando il segno dei singoli fattori del prodotto da cui, appunto, il nome di regola dei segni.

 

Ad esempio per trovare l'insieme delle soluzioni della disequazione prodotto

 

5x(x-2)(x^2-1) > 0 

 

dobbiamo imporre:

 

\bullet \ 5x > 0

 

\bullet \ x-2 > 0

 

\bullet \ x^2-1 > 0

 

 

2) A questo punto risolviamo le singole disequazioni, ossia le disequazioni relative ai segni dei singoli fattori. Per quanto riguarda l'esempio proposto abbiamo due semplici disequazioni di primo grado:

 

\bullet \ 5x > 0 \iff x>0

 

\bullet \ x-2 > 0 \iff x>2

 

ed una disequazione di secondo grado:

 

\bullet \ x^2-1 > 0 \iff x<-1 \ \vee \ x>1

 

 

3) Dopo aver individuato le soluzioni delle singole disequazioni, riportiamo i risultati ottenuti in un'apposita tabella dei segni formata da tante righe orizzontali quanti sono i fattori che formano il prodotto, più una riga iniziale che individua l'insieme dei numeri reali.

 

Su ogni riga riporteremo gli intervalli in cui ogni fattore è negativo con una linea tratteggiata e gli intervalli in cui è positivo con una linea piena. Inoltre se nella disequazione è presente anche l'uguale riporteremo con un pallino pieno i punti in cui ogni fattore si annulla, altrimenti utilizzeremo il pallino vuoto. Per l'esempio in esame si ha

 

 

Tabella per lo studio dei segni dei fattori

 

 

4) Per concludere non ci rimane altro da fare se non confrontare i segni dei vari fattori facendo riferimento alla regola dei segni per il prodotto, ovvero:

 

- se in un intervallo abbiamo tutti segni positivi, il prodotto è positivo;

- se in un intervallo siamo in presenza di un numero pari di segni negativi, il prodotto è positivo;

- se nell'intervallo in esame compare un numero dispari di segni negativi, il prodotto è negativo.

 

 

Segno del prodotto dei fattori della disequazione

 

 

5) A questo punto siamo in grado di stabilire su quali intervalli il prodotto iniziale

 

5x(x-2)(x^2-1) 

 

è positivo e dove è negativo: guardiamo il verso del simbolo di disequazione (nel caso avessimo effettuato delle semplificazioni sulla disequazione di partenza, guarderemo il verso che compare nell'ultimo passaggio) e, in accordo con la richiesta, individuiamo le soluzioni. In particolare:

 

- se il verso della disequazione che abbiamo ricavato nell'ultimo passaggio (ovvero prima di procedere con lo studio) è > o ≥ considereremo gli intervalli con segno +;

 

- se il verso della disequazione ottenuta nell'ultimo passaggio è < o ≤ prenderemo gli intervalli con segno -.

 

Inoltre, se per i singoli punti che abbiamo riportato sulla retta iniziale compare il pallino pieno, li includeremo nell'insieme delle soluzioni; se compare il pallino vuoto, essi andranno esclusi.

 

Per quanto concerne l'esempio proposto, essendo il verso della disequazione >, le soluzioni saranno date dagli intervalli corrispondenti ai segni +, ovvero

 

5x(x-2)(x^2-1)>0 \iff x<-1 \ \vee \ 0<x<1 \ \vee \ x>2

 

 

6) Ovviamente (anche se non era questo il caso), se ci dovessero essere condizioni di esistenza che derivano da termini non polinomiali come funzioni goniometriche, logaritmi, radici, etc..., dovremmo tenerne conto leggendo le soluzioni dalla tabella.

 

Un altro esempio sulle disequazioni prodotto con la regola dei segni

 

Vediamo ora un altro esempio. Proponiamoci di risolvere la disequazione

 

x(x+3)(x-2) \le 0

 

La disequazione si presenta nella forma di una disequazione prodotto, dunque studiamo il segno di ogni fattore ponendolo maggiore o uguale a zero.

 

\bullet \ x\ge 0

 

\bullet \ x+3\ge 0 \iff x\ge -3

 

\bullet \ x-2\ge 0 \iff x\ge 2

 

Possiamo ora disegnare la tabella dei segni

 

 

Disequazione prodotto con regola dei segni

 

 

Visto che il verso della disequazione è ≤ le soluzioni saranno date dagli intervalli con segno meno dei quali dobbiamo considerare anche gli estremi.  

 

x(x+3)(x-2) \le 0 \iff x\le -3 \ \vee \ 0\le x \le 2

 

 


 

È tutto ragazzi! Prima dei saluti di rito ci teniamo a farvi notare che la maggior parte delle disequazioni di grado superiore a due si riconducono a disequazioni prodotto e quindi si risolvono con la regola dei segni. L'avevate notato?...Wink

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe carichino (Galois)

 

Lezione precedente............Lezione successiva


Tags: disequazioni con la regola dei segni - metodo per risolvere le disequazioni con la regola dei segni - disequazioni prodotto.