Disequazioni di grado superiore al secondo

Si dice disequazione di grado superiore al secondo una disequazione in cui l'incognita compare con esponente strettamente maggiore di 2.

 

La forma più generica che queste disequazioni possono assumere è

 

a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots + a_2x^2+a_1x+a_0\gtreqless b

 

dove n>2. Come al solito le regole generali sono complicate e saremo felici di spiegartele su richiesta (in realtà lo abbiamo già fatto, nelle migliaia di esercizi e problemi che abbiamo risolto: la barra di ricerca è la tua migliore amica!) qui procediamo invece sulla via della praticità e vediamo direttamente il metodo risolutivo per disequazioni di grado superiore al secondo.

 

Metodi per risolvere le disequazioni di grado superiore al secondo

 

Procediamo per passi, e consideriamo un esempio:

 

1. Data una disequazione di grado superiore al secondo scomponiamo in fattori l'equazione ad essa associata avendo cura di NON cambiare i segni (altrimenti dovremmo cambiare il verso della disequazione, rischiando di sbagliare tutto l'esercizio)

 

Consideriamo la disequazione

 

x^3+x^2-4x-4\geq 0

 

in cui compare un termine x3 quindi è una disequazione di grado superiore al secondo.

 

Risolviamo l'equazione associata utilizzando il metodo opportuno tra quelli spiegati nelle lezioni riguardanti le equazioni di grado superiore al secondo: equazioni binomieequazioni trinomie e le equazioni scomponibili.

 

L'equazione associata alla disequazione che abbiamo trattato nell'esempio è scomponibile con Ruffini, oppure con un raccoglimento. Siccome i matematici potrebbero fare carte false per riuscire ad evitare i conti utilizzeremo il raccoglimento parziale:

 

L'equazione associata è

 

x^3+x^2-4x-4= 0

 

Raccogliamo x2 tra i primi due addendi e -4 tra gli ultimi due:

 

x^2(x+1)-4(x+1)= 0

 

Raccogliamo a fattor comune (x+1) ottenendo

 

(x+1)(x^2-4)= 0

 

Abbiamo scomposto l'equazione nel prodotto di due fattori rispettivamente di primo e secondo grado.

 

2. Torniamo alla disequazione, riscriviamola in fattori e lasciamo il verso della disequazione invariato visto che abbiamo avuto cura di non cambiare i segni.

 

(x+1)(x^2-4)\geq 0

 

 

3. Risolviamo la disequazione utilizzando la regola di annullamento del prodotto: studiamo il segno di ogni fattore ponendolo maggiore o uguale a zero (saranno tutte disequazioni di primo e secondo grado che siamo in grado di risolvere).

 

Nel nostro esempio dovremo risolvere

 

x+1\geq 0

 

e

 

x^2-4\geq 0

 

La prima è una disequazione di primo grado che ha soluzione

 

x\geq -1

 

Mentre la seconda è una disequazione di secondo grado verificata per:

 

x\leq -2 \vee x\geq 2

 

 

4. Riportiamo i risultati nella tabella seguente:

 

Tabella per la risoluzione di una disequazione di grado superiore al secondo

 

 

Dove f1 è il primo fattore, f2 il secondo, le linee tratteggiate indicano dove la funzione è negativa, le linee intere dove è positiva e i cerchi neri dove si annulla.

 

La terza riga rappresenta il segno del prodotto tra i due fattori e si ottiene confrontando le prime due: il primo fattore è negativo prima di -2, mentre il secondo è positivo, il prodotto di negativo e positivo dà negativo, dunque prima di -2 nella terza riga abbiamo disegnato una linea tratteggiata.

 

Procediamo allo stesso modo considerando l'intervallo compreso tra -2 e -1: sia il primo che il secondo fattore sono negativi dunque il loro prodotto è positivo (regola dei segni).

 

Infine tra -1 e 2 il primo fattore è positivo mentre il secondo è negativo: sulla terza riga della tabella avremo, su quell'intervallo, una linea tratteggiata.

 

Infine da +2 in poi, cioè nell'intervallo (+2, +∞), entrambi i fattori sono positivi, dunque il loro prodotto è positivo (più-per-più-dà-più).

 

5. Torniamo alla disequazione di partenza e guardiamo cosa richiedeva, cioè quale fosse il suo verso e leggiamo le soluzioni nella tabella del punto precedente. La disequazione del nostro esempio ci chiede di stabilire dove

 

x^3+x^2-4x-4

 

è maggiore o uguale a zero. Quindi le soluzioni che cerchiamo sono date dall'unione degli intervalli che nella tabella sono evidenziati con una riga continua, e dai punti in cui si annulla la funzione:

 

[-2,-1]\cup [2,+\infty)

 

 


 

Se dovessi avere dubbi o problemi sappi che abbiamo migliaia e migliaia di problemi risolti e di esercizi spiegati fino all'ultimo passaggio: puoi trovare tutto quello che ti serve con la nostra barra di ricerca, ed eventualmente puoi sempre contattarci.

 

\alpha

 

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