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Sistemi di disequazioni

Saper risolvere i sistemi di disequazioni è fondamentale nello studio della Matematica. Essi infatti, oltre a costituire il punto di arrivo nello studio delle disequazioni, forniscono uno strumento logico di base che trova applicazione in tantissimi argomenti. Possiamo dire in tutta tranquillità che un sistema di disequazioni sta ad un matematico come un cacciavite sta ad un meccanico...ma andiamo con ordine. Wink

 

Come risolvere i sistemi di disequazioni

 

Perché i sistemi di disequazioni sono così importanti? Perché permettono di effettuare un confronto tra diverse condizioni espresse mediante delle disequazioni. In linguaggio matematico si può dire che la risoluzione di un sistema di disequazioni equivale alla ricerca delle soluzioni in comune tra le singole disequazioni che lo costituiscono.

 

Come abbiamo visto nella lezione introduttiva sulle disequazioni, le soluzioni di una disequazione sono date da intervalli di numeri reali o eventualmente da unioni di intervalli.

 

Risolvere un sistema di disequazioni equivale a determinare l'intersezione degli intervalli delle soluzioni delle varie disequazioni che formano il sistema. Vediamo come. Wink

 

Sistema di disequazioni come intersezione

 

Non si tratta di un compito difficile, tutto si riduce a disegnare un opportuno grafico. Se, ad esempio, ci trovassimo davanti a un sistema del tipo

 

\begin{cases}-2<x<2\\x\geq 0\end{cases}

 

calcolare la soluzione di questo sistema equivale a trovare l'intersezione tra gli intervalli

 

(-2,2) \ \mbox{e} \  [0,+\infty),

 

e per farlo è sufficiente procedere per passi.

 

1. Riportare sulla retta reale gli estremi di tutte le soluzioni delle disequazioni che formano il sistema. In questo caso i numeri -2, 0 e 2.

 

2. Sulla prima riga disegneremo l'intervallo soluzione della prima disequazione, sulla seconda riga le soluzioni della seconda.. e così via.. Per farla breve avremo, nel grafico, tante righe tante quante solo le disequazioni che formano il sistema.

 

3. Le soluzioni del sistema di disequazioni saranno date dalla sovrapposizione delle linee che rappresentano le soluzioni delle varie disequazioni. Cioè le soluzioni del sistema sono date dagli intervalli in comune tra le linee relative alle singole disequazioni.

 

Nel nostro esempio abbiamo

 

 

Intersezione delle soluzioni in un sistema di disequazioni

 

 

Useremo il pallino pieno per indicare che l'estremo è compreso, il pallino vuoto per indicare che l'estremo è escluso.

 

Le soluzioni del sistema sono date dall'intervallo disegnato in rosso, cioè

 

\mbox{S}=[0,2)

 

ovvero:

 

\mbox{S}=0\leq x< 2

 

Due piccole osservazioni

 

- Se una delle disequazioni che forma il sistema è impossibile, ovvero non ammette soluzioni, allora l'intero sistema non ammetterà soluzioni.

 

- Se una delle disequazioni che forma il sistema ha come soluzioni tutto \mathbb{R}, allora sul grafico rappresenteremo una linea che copre tutto l'asse reale.

 

Risoluzione delle disequazioni del sistema

 

Come dicevamo all'inizio, le soluzioni delle disequazioni sono intervalli o unioni di intervalli, dunque per ottenere un sistema come quello dell'esempio precedente sarà sufficiente risolvere le singole disequazioni, e il metodo dipenderà evidentemente dal tipo di disequazione considerata: a tal proposito vi rimandiamo alla lettura delle lezioni del link precedente.

 

Il metodo risolutivo per passi che trovate nel paragrafo successivo chiarirà immediatamente i vostri dubbi. Wink

 

Prima di procedere vi diamo un consiglio prezioso. Quando siete di fronte ad un sistema di disequazioni vi conviene risolvere separatamente le varie disequazioni che lo formano e, alla fine, scrivere un nuovo sistema formato dalle sole soluzioni delle singole disequazioni. Fatto questo basterà poi procedere col metodo grafico sopra esposto e trovare quindi la soluzione del sistema. 

 

Esempi sui sistemi di disequazioni

 

1) Consideriamo il sistema di disequazioni

 

\begin{cases}x+1\leq 0\\x(x^2-2x+1) < 0\end{cases}

 

Risolviamo separatamente le due disequazioni che formano il sistema.

 

\bullet \ x+1 \leq 0 è una disequazioni di primo grado, soddisfatta per

 

x\leq -1

 

Troviamo ora le soluzioni della seconda disequazione

 

\bullet \ x(x^2-2x+1) < 0

 

che è una disequazione di grado superiore al secondo. Siamo di fronte ad un prodotto di due fattori:

 

x \ \mbox{e} \ (x^2-2x+1)

 

Per vedere quando esso è (strettamente) minore di zero studiamone il segno:

 

x > 0

 

x^2-2x+1 > 0

 

La prima è già risolta. La seconda è una disequazione di secondo grado con discriminante uguale a zero. Essa ha quindi come soluzioni: \forall x \in \mathbb{R}-\{1\}.

 

Rappresentando la tabella dei segni:

 

 

Studio del segno di una disequazione

 

 

Il verso della disequazione è <, a noi interessano gli intervalli in cui il prodotto è negativo. Come si può osservare dalla tabella dei segni, le soluzioni della seconda disequazione del sistema sono date da

 

x(x^2-2x+1) < 0 \iff x < 0

 

Il nostro sistema di partenza diventa quindi

 

\begin{cases}x \leq -1 \\ x < 0 \end{cases}

 

e a questo punto possiamo rappresentare le soluzioni delle singole disequazioni nel grafico risolutivo, quello del sistema

 

 

Tabella delle soluzioni di un sistema di disequazioni

 

 

Le soluzioni del sistema sono date dall'intervallo (-\infty, -1].

 

 


 

 

2) Risolviamo il sistema di disequazioni

 

\begin{cases} 3x^3+9x^2+12x}\leq 0 \\ \frac{x-2}{x+4} < 0 \end{cases}

 

Per prima cosa identifichiamo e risolviamo i tipi di disequazioni con cui abbiamo a che fare:

 

la prima è una disequazione di grado superiore al secondo ed è risolvibile tramite raccoglimento totale e scomposizione in fattori:

 

\bullet \ 3x^3+9x^2-12x \leq 0 \iff x(3x^2+9x+12) \leq 0

 

Studiamone ora il segno ponendo entrambi i fattori maggiori di 0, risolviamo le singole disequazioni e riportiamo i risultati utilizzando la tabella dello studio del segno:

 

x\geq 0

 

3x^2+9x+12\geq 0

 

Ci siamo ricondotti a risolvere una disequazione lineare e una di secondo grado. La prima è apposto, la seconda disequazione ha soluzioni per ogni x appartenente ai numeri reali, in simboli

 

3x^2+9x+12 \geq 0 \ \forall x\in\mathbb{R}

 

Disegniamo ora la tabella per lo studio dei segni

 

 Studio del segno di un prodotto

 

 

Poiché il verso della disequazione è ≤, a noi interessano gli intervalli in cui il prodotto è negativo o nullo, ovvero x \leq 0 che è la soluzione della prima disequazione.

 

Passiamo alla seconda disequazione

 

\bullet \ \frac{x-2}{x+4} < 0

 

Siamo di fronte ad una disequazione fratta. Per vedere su quali intervalli il primo membro è negativo studiamo separatamente il segno di numeratore e denominatore, ponendoli strettamente maggiori di zero:

 

N(x) > 0 \iff x-2 > 0 \iff x > 2

 

D(x) > 0 \iff x+4 > 0 \iff x > -4

 

La tabella dello studio del segno conduce a:

 

 

Studio del segno disequazione fratta

 

 

Anche in questo caso, essendo il verso della disequazione è <, la soluzione sarà data dall'intervallo in cui la disequazione fratta è negativa, ovvero per -4 <x< 2

 

Il nostro sistema è dunque equivalente a

 

\begin{cases} 3x^3+9x^2+12x}\leq 0 \\ \frac{x-2}{x+4} < 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \leq 0 \\ -4 <x< 2 \end{cases}

 

e a questo punto possiamo rappresentare il grafico per la ricerca delle soluzioni:

 

 

Tabella delle soluzioni di un sistema di disequazioni

 

 

Dunque il sistema ha soluzioni per -4 < x \leq 0.

 

Volendo utilizzare la notazione con gli intervalli:

 

\mbox{S}=(-4,0]

 

 


 

 

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Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

  

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