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Sistemi di disequazioni

Come succedeva per i sistemi lineari, fare un sistema di disequazioni significa cercare le soluzioni comuni alle disequazioni che compongono il sistema.

 

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Come risolvere i sistemi di disequazioni

 

Nella risoluzione di un sistema di disequazioni, in linguaggio matematico si può dire che cerchiamo l'intersezione delle soluzioni delle singole disequazioni. Sappiamo che le soluzioni di una disequazioni sono date da intervalli o unioni di intervalli; dunque, per risolvere un sistema di disequazioni dobbiamo per prima cosa essere in grado di calcolare l'intersezione di più intervalli.

 

Intersezione degli intervalli delle soluzioni delle disequazioni del sistema

 

Questo non è un calcolo difficile, tutto si riduce al disegno di un grafico. Se, ad esempio, ci trovassimo davanti a un sistema del tipo

 

\left\{\begin{matrix}-2<x<2\\x\geq 0\end{matrix}\right

 

calcolare la soluzione di questo sistema equivale a trovare l'intersezione tra gli intervalli (-2,2) e [0,+∞), dove

 

(-2,2)=\{x: -2<x<2\} \mbox{ e } [0,+â)=\{x: x\geq 0\}

 

Riportiamo sulla retta reale gli estremi degli intervalli e su righe diverse disegnamo gli intervalli a cui siamo interessati. L'intersezione degli intervalli è data dalla sovrapposizione degli stessi. Cioè le soluzioni si trovano dove le linee che rappresentano gli intervalli si sovrappongono. Nel nostro esempio abbiamo:

 

Intersezione delle soluzioni in un sistema di disequazioni

 

Le soluzioni al sistema sono date dall'intervallo disegnato in verde, cioè [0,2), con la notazione degli insiemi:

 

\{x: 0\leq x<2\}

 

Non ci resta che capire come si arriva ad avere un sistema composto da intervalli:

 

Risoluzione delle disequazioni del sistema

 

Come dicevamo all'inizio le soluzioni delle disequazioni sono intervalli o unioni di intervalli, dunque per ottenere un sistema come quello del paragrafo precedente sarà sufficiente risolvere le singole disequazioni, e il metodo dipenderà evidentemente dal tipo di disequazione considerata: a tal proposito vi rimandiamo alla lettura delle lezioni dell'omonima categoria di lezioni (quella del link precedente).

 

Il metodo risolutivo per passi che trovate nel paragrafo successivo chiarirà immediatamente i vostri dubbi Occhiolino.

 

Esempi sui sistemi di disequazioni

 

1) Consideriamo il sistema di disequazioni

 

\left\{\begin{matrix}x+1\leq 0\\-x> 0\end{matrix}\right

 

Sono entrambe disequazioni lineari, risolviamole:

 

\left\{\begin{matrix}x\leq -1\\x< 0\end{matrix}\right

 

Le soluzioni delle singole disequazioni sono date dagli intervalli (-∞,-1] e (-∞,0). Rappresentiamoli nel grafico

 

Tabella delle soluzioni di un sistema di disequazioni

 

Le soluzioni del sistema sono date dall'intervallo (-∞,-1].

 

2) Risolviamo il sistema di disequazioni

 

\left\{\begin{matrix}x^2+2x+1\geq 0\\3x^3+9x^2+12x\leq 0\end{matrix}\right

 

Per prima cosa identifichiamo i tipi di disequazioni con cui abbiamo a che fare: la prima è una disequazione di secondo grado, mentre la seconda è una disequazione di grado superiore al secondo ed è risolvibile tramite raccoglimento e scomposizione in fattori:

 

\left\{\begin{matrix}(x+1)^2\geq 0\\x(x^2+3x+4)\leq 0\end{matrix}\right

 

Nella prima disequazione abbiamo riconosciuto un quadrato che è sempre positivo o nullo, nella seconda disequazione abbiamo diviso per tre, (il verso della disequazione è rimasto invariato perché 3 è un numero positivo), e abbiamo raccolto x.

 

Per risolvere la seconda disequazione utilizziamo la legge di annullamento del prodotto: poniamo entrambi i fattori maggiori di 0, risolviamo le singole disequazioni e riportiamo i risultati utilizzando la stessa tabella che abbiamo usato per risolvere le disequazioni fratte:

 

x\geq 0

 

x^2+3x+4\geq 0

 

Ci siamo ricondotti a risolvere una disequazione lineare e una di secondo grado. La seconda disequazione ha soluzioni per ogni x appartenente ai numeri reali, in simboli

 

\forall x\in\mathbb{R}

 

Dunque l'unica disequazione che contribuisce nel dare soluzioni al sistema è la prima: il sistema ha soluzioni per x>0.

 


 

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\alpha

 

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