Disequazioni goniometriche

In questo articolo proponiamo i principali metodi di risoluzione delle disequazioni goniometriche (dette anche disequazioni trigonometriche), Una disequazione si dice goniometrica se l'incognita compare come argomenti di una funzione trigonometrica.

 

Alcuni esempi di disequazioni goniometriche sono:

 

\sin(x) \geq \frac{1}{2}, \ \ 2\cos(x) \leq 2, \ \ \tan(x) \textgreater \frac{1}{3}, \ \ \tan(x)+\cot(x)\textless 2

 

Risoluzione delle disequazioni goniometriche

 

Iniziamo col vedere come si risolvono le disequazioni goniometriche elementari, ovvero quelle che si presentano nella forma:

 

\sin(x) \gtreqless m, \ \cos(x) \gtreqless n, \ \tan(x) \gtreqless p

 

Per poi passare alle disequazioni goniometriche un po' più complesse che, come vedremo, si ricondurranno sempre ad uno di questi casi. Ecco perché è fondamentale non avere dubbi a riguardo e a tal proposito vi invitiamo a leggere con molta attenzione quello che segue.

 

Disequazioni goniometriche del tipo funzione > o < di una costante

 

Caso I) \sin(x) \gtreqless m 

 

Indipendentemente dal verso della disequazione, disegneremo una circonferenza goniometrica e la retta di equazione y=m.

 

Questo perché il seno di un angolo rappresenta l'ordinata dei punti della circonferenza goniometrica associati a tale angolo. Fatto questo:

 

- se il verso della disequazione è > o ≥ l'insieme delle soluzioni sarà dato dagli angoli corrispondenti ai punti della circonferenza che vivono al di sopra della retta;

 

- se il verso della disequazione è < o ≤ la famiglia delle soluzioni sarà l'insieme degli angoli corrispondenti ai punti della circonferenza che vivono al di sotto della retta.

 

A questo punto, se la retta interseca la circonferenza, per trovare il valore degli angoli corrispondenti ai punti di intersezione dobbiamo risolvere l'equazione goniometrica elementare associata: \sin(x)=m.

 

A tal proposito non ci dilunghiamo oltre visto che abbiamo dedicato un'intera lezione che puoi raggiungere con un click sul link precedente. Wink

 

Vediamo subito qualche esempio:

 

\bullet \ \sin(x) \geq \frac{\sqrt{2}}{2}

 

Disegnata la circonferenza di centro l'origine e raggio 1 e la retta di equazione y=\frac{\sqrt{2}}{2} essendo il verso della disequazione ≥ dobbiamo prendere i punti della circonferenza evidenziati in arancione, cioè quello che stanno al di sopra di tale retta (estremi compresi - visto che siamo in presenza del ≥):

 

Seno di x maggiore di radical due mezzi

 

A questo punto, poiché le soluzioni dell'equazione goniometrica associata:

 

\sin(x)=\frac{\sqrt{2}}{2} 

 

sono:

 

x=\frac{\pi}{4}+2k\pi, \ \vee \ x=\frac{3}{4}\pi+2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

la nostra disequazione è soddisfatta per:

 

\frac{\pi}{4}+2k\pi \leq x \leq \frac{3}{4}\pi+2k \pi, \ k \in \mathbb{Z}

 


 

\bullet \ \sin(x) \textless \frac{1}{2}

 

Come fatto prima disegnamo la circonferenza goniometrica e la retta di equazione y=\frac{1}{2}

 

Essendo in presenza del verso < prenderemo, questa volta, i punti che stanno al di sotto della retta, estremi esclusi:

 

Seno di x minore di un mezzo

 

Risolviamo ora l'equazione trigonometrica associata:

 

\sin{(x)=\frac{1}{2}}

 

che ha come soluzioni:

 

x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \ \vee \ x=\frac{5}{6}\pi+2k\pi, \ k\in\mathbb{Z}

 

A questo punto si potrebbe essere tentati di scrivere

 

\frac{5}{6}\pi \textless x \textless \frac{\pi}{6}

 

come soluzioni della nostra disequazione. Niente di più sbagliato!

 

Per scrivere le soluzioni dobbiamo infatti partire dallo zero e procedere in senso antiorario riportando gli intervalli di soluzione che man mano si trovano.

 

Nel nostro caso abbiamo quindi:

 

0+2k\pi<x<\frac{\pi}{6}+2k\pi \ \vee \ \frac{5}{6}\pi+2k\pi<x<2\pi+2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

 


 

Volendo, per risolvere una disequazione goniometrica elementare con il seno, tracciare il grafico della funzione seno nell'intervallo [0,2\pi] e la retta di equazione y=m considerando:

 

- gli intervalli dell'asse x in cui il grafico sta al di sotto della retta se il verso della disequazione è < o ≤

 

- gli intervalli dell'asse x in cui il grafico sta al di sopra della retta se il verso della disequazione è > o ≥

 

Volendo risolvere con tale metodo l'ultima disequazione goniometrica vista: \sin(x)\textless \frac{1}{2} avremo:

 

Soluzioni di una disequazione goniometrica con il seno

 

ovvero le stesse soluzioni prima trovate.

 

 


 

 

Caso II): \cos(x) \gtreqless n 

 

Anche in questo caso disegneremo l'ormai famosa circonferenza goniometrica e, poiché il coseno di un angolo rappresenta l'ascissa dei punti della circonferenza associati a tale angolo, la retta di equazione x=n.

 

A questo punto:

 

- se il verso della disequazione è > o ≥ le soluzioni saranno gli angoli che corrispondono ai punti della circonferenza che stanno a destra della retta;

 

- se il verso della disequazione è < o ≤ l'insieme delle soluzioni sarà dato dagli angoli che corrispondono ai punti della circonferenza che vivono a sinistra della retta.

 

come fatto prima, se la retta interseca la circonferenza, per trovare il valore degli angoli corrispondenti ai punti di intersezione dobbiamo risolvere l'equazione goniometrica elementare associata: \cos(x)=n per cui potrebbe essere utile consultare la tabella dei valori notevoli delle funzioni goniometriche.

 

Esempi:

 

\bullet \ \cos(x) \textgreater \frac{\sqrt{2}}{2}

 

Disegniamo la circonferenza trigonometrica e la retta x=\frac{\sqrt{2}}{2}

 

Coseno di x maggiore di radical 2 mezzi

 

Essendo il verso della disequazione > dobbiamo prendere i punti della circonferenza a destra della retta (estremi eslusi) che sono quelli che abbiamo evidenziato in arancione.

 

Ora, ammesso di lavorare nell'intervallo [0, 2\pi], le soluzioni dell'equazione goniometrica associata sono (ricordando che il coseno è una funzione periodica di periodo due pi greco):

 

x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \ \vee \ x=\frac{7}{4}\pi+2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

La nostra disequazione è quindi soddisfatta per (ricordiamo che bisogna scrivere le soluzioni partendo da zero e procedendo in senso antiorario):

 

0+2k\pi \textless x \textless \frac{\pi}{4}+2k \pi \ \vee \ \frac{7}{4}\pi+2k\pi \textless x \textless 2\pi+2k \pi, \ k \in \mathbb{Z}

 


 

Volendo, anche in questo caso, possiamo far ricorso al grafico della funzione coseno nell'intervallo [0,2\pi] e tracciare la retta di equazione x=n considerando, come soluzioni:

 

- gli intervalli dell'asse x in cui il grafico sta al di sotto della retta se il verso della disequazione è < o ≤;

 

- gli intervalli dell'asse x in cui il grafico sta al di sopra della retta se il verso della disequazione è > o ≥.

 

Procedendo in questo modo per la disequazione goniometrica appena vista: \cos(x)\textgreater \frac{\sqrt{2}}{2} avremo:

 

Risoluzione di una disequazione goniometrica con il coseno

 

ovvero le stesse soluzioni prima trovate.

 


 

\bullet \ \cos(x)\leq -\frac{1}{2}

 

Ormai dovreste aver capito. Disegnamo la circonferenza goniometrica e la retta di equazione x=-\frac{1}{2}

 

Essendo in presenza del verso ≤ prenderemo, questa volta, i punti che stanno a sinistra della retta, estremi inclusi:

 

 Coseno di x minore di meno un mezzo

 

Avendo l'equazione trigonometrica associata:

 

\cos{(x)=-\frac{1}{2}}

 

soluzioni:

 

x=\frac{2}{3}\pi +2k\pi \ \vee \ x=\frac{4}{3}\pi+2k\pi, \ k\in\mathbb{Z}

 

le soluzioni della nostra disequazione saranno:

 

\frac{2}{3}\pi+2k\pi\leq x \leq \frac{4}{3}\pi+2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

 


 

Caso III): \tan(x) \gtreqless p

 

Nel caso delle disequazioni goniometriche con la tangente sconsigliamo l'utilizzo della corconferenza goniometrica in quanto non è così immediato come nel caso delle disequazioni con seno e coseno.

 

Per le disequazioni con la tangente conviene ricorrere direttamente al grafico della tangente nell'intervallo [0, 2\pi] e tracciare la retta di equazione y=p.

 

A questo punto, se:

 

- il verso della disequazione è > o ≥ prenderemo in considerazione la parte di grafico al di sopra di tale retta;

 

- il verso della disequazione è < o ≤ prenderemo in esame la parte di grafico al di sotto della retta.

 

Esempio:

 

\bullet \ \tan{(x)}\geq 1

  

Disegniamo il grafico della tangente e consideriamo la porzione di grafico che sta sopra la retta y=1 (evidenziata in verde).

 

Grafico per le soluzioni di una disequazione trigonometrica con la tangente

 

Risolviamo l'equazione associata:

 

\tan{(x)}= 1

 

che ha soluzioni per

 

x=\frac{\pi}{4}+k\pi, \ k\in \mathbb{Z}

 

Osservando il disegno appena fatto possiamo concludere che le soluzioni della disequazione, tenendo conto della periodicità e dei punti in cui non è definita la tangente, sono:

 

\frac{\pi}{4}+k\pi \leq x \textless \frac{\pi}{2}+k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

Disequazioni goniometriche non elementari

 

Se siete di fronte ad una disequazione goniometrica non elementare, niente paura! Si riesce sempre, tramite qualche artificio, a ricondursi ad una disequazione goniometrica elementare. Basta avere ben presenti:

 

- le definizione di secante, cosecante e cotangente di un angolo;

 

- le formule goniometriche.

 

Abbiamo trattato nel dettaglio tutti i possibili casi e fatto svariati esempi nella lezione sulle equazioni goniometriche non elementari - click! Semplicemente, alla fine della storia, avrete a che fare con disequazioni invece che con equazioni ma il metodo per ricondursi alla forma elementare è identico Wink

 

 


 

Per questa lezione è tutto! In caso di dubbi, problemi o perplessità non esitare a contattarci e ricordate che, utilizzando la barra di ricerca (in alto a destra in ogni pagina) potrete raggiungere centinaia di esercizi accuratamente svolti!

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Lezione precedente..........Esercizi correlati..........Lezione successiva


Tags: disequazioni goniometriche - disequazioni trigonometriche - metodi di risoluzione delle disequazioni trigonometriche.