Disequazioni logaritmiche

Che cosa sono le disequazioni logaritmiche, e come si risolvono? Qui di seguito vogliamo mostrarvi i metodi per risolvere una qualsiasi disequazione con i logaritmi, proponendo svariati esempi. 

 

Si dice logaritmica una disequazione in cui l'incognita compare come argomento di un logaritmo. I casi possibili di cui tratteremo la risoluzione in questo articolo sono:

 

\log_{a}{[f(x)]}\gtreqless 0

 

\log_{a}{[f(x)]}\gtreqless c

 

\log_{a}{[f(x)]}\gtreqless\log_{b}{[g(x)]}

 

dove f(x) e g(x) sono espressioni contenenti l'incognita, c è un qualsiasi numero reale, mentre a e b sono numeri reali positivi diversi da 1.

 

 

La prima cosa da fare per risolvere questo tipo di disequazioni è ricordarsi di stabilire le condizioni di esistenza, infatti il logaritmo è definito a patto che il suo argomento sia strettamente maggiore di zero. Sappiamo anche che le condizioni di esistenza vanno sempre confrontate con le soluzioni che troveremo alla fine. Un modo furbo per non dimenticarsele mai è scriverle mettendole a sistema con la disequazione, ovvero:

 

\log_{a}{[f(x)]} \gtreqless 0 \ \iff \ \begin{cases} f(x)>0\\ \log_{a}{[f(x)]}\gtreqless 0\end{cases}

 

\log_{a}{[f(x)]} \gtreqless c \ \iff \ \begin{cases} f(x)>0 \\ \log_{a}{[f(x)]}\gtreqless c\end{matrix}\right

 

\log_{a}{[f(x)]} \gtreqless \log_{b}{[g(x)]} \ \iff \ \begin{cases} f(x)>0 \\ g(x)>0 \\ \log_{a}{[f(x)]}\gtreqless \log_{b}{[g(x)]}\end{matrix}\right

 

Scrivendo questi sistemi siamo sicuri di non dimenticarci le condizioni di esistenza!

 

 

Analizziamo ognuno dei casi elencati sopra e studiamo il procedimento per risolverli:

 

Primo tipo di disequazione logaritmica

 

Caso 1:  \log_{a}{[f(x)]} \gtreqless 0 \ \iff \ \begin{cases} f(x)>0\\ \log_{a}{[f(x)]}\gtreqless 0\end{cases}

 

Metodo risolutivo

 

Scegliamo una possibile disequazione, per esempio quella con >, per gli altri casi vale la medesima regola.

 

Ricordando che, in generale, 0=\log_a{(1)}, scriviamo il nostro sistema come:

 

\begin{cases} f(x)>0\\ \log_{a}{(f(x))}>\log_{a}(1)\end{cases}

 

In questo modo abbiamo riscritto il sistema lasciando invariata la prima disequazione e cambiando la seconda in modo da ottenere sia a sinistra che a destra dei logaritmi in base a:

 

A questo punto dobbiamo distinguere due casi a seconda che la base del logaritmo sia maggiore di 1 oppure compresa tra 0 e 1:

 

Se a>1: risolvere la disequazione logaritmica equivale a risolvere una disequazione i cui membri sono gli argomenti dei logaritmi e avente lo stesso verso di quella di partenza:



\begin{cases} f(x)>0 \\ f(x)>1 \end{cases}


Se 0<a<1: confrontiamo gli argomenti dei logaritmi in una disequazione avente verso opposto a quello della disequazione di partenza:



\begin{cases} f(x)>0 \\ f(x)<1 \end{cases}

 

Ora è sufficiente risolvere il sistema di disequazioni, provate a leggere gli esempi qui sotto, vedrete che è più facile del previsto.

 

Esempi

 

1) \log_{2}(3x-5)>0

 

Scriviamo la disequazione a sistema con le sue condizioni di esistenza

 

\begin{cases} 3x-5>0 \\ \log_{2}(3x-5)>0\end{cases}

 

Scriviamo 0 come log2(1):

 

\begin{cases} 3x-5>0 \\ \log_{2}(3x-5)>\log_2{(1)}\end{cases}

 

La base del logaritmo è maggiore di 1, quindi confrontiamo gli argomenti dei logaritmi in una disequazione dello stesso verso di quella logaritmica:

 

\begin{cases} 3x-5>0 \\ 3x-5>1 \end{cases}\right

 

Ci troviamo di fronte a due disequazioni di primo grado, da cui:

 

\begin{cases} x>\frac{5}{3}\\ x>2\end{cases}

 

Per la risoluzione del sistema di disequazioni usiamo il solito grafico:

 

 

Soluzioni della disequazione logaritmica - 1

 

 

Dunque le soluzioni del sistema sono:

 

x>2

 

Volendo utilizzare la notazione con gli intervalli:

 

\mbox{S}=(2, +\infty)

 

In caso di dubbi date un'occhiata alla lezione introduttiva sulle disequazioni come abbiamo spiegato come rappresentare le soluzioni di una disequazione mediante intervalli.

 

 


 

 

2) \log_{\frac{1}{2}}{(x^2-1)}<0

 

Mettiamo le condizioni di esistenza a sistema con la disequazione

 

\begin{cases} x^2-1>0 \\ \log_{\frac{1}{2}}(x^2-1)<0\end{cases}

 

Scriviamo 0 come \log_{\frac{1}{2}}{(1)}:

 

\begin{cases} x^2-1>0 \\ \log_{\frac{1}{2}}(x^2-1)<\log_{\frac{1}{2}}{(1)}\end{cases}

 

La base del logaritmo è minore di 1, quindi confrontiamo gli argomenti dei logaritmi in una disequazione con verso opposto rispetto a quella logaritmica:

 

\begin{cases} x^2-1>0 \\ x^2-1>1\end{cases}

 

Siamo ora di fronte a due disequazioni di secondo grado:

 

x^2-1 > 0 \ \mbox{verificata per} \ x< -1 \ \vee \ x > 1

 

x^2-1 > 1 \ \to \ x^2-2 > 0 \ \mbox{che ha come soluzioni} \ x < -\sqrt{2} \ \vee \ x > \sqrt{2}

 

Il nostro sistema diventa quindi:

 

\begin{cases} x<-1 \ \vee \ x>1\\ x<-\sqrt{2} \ \vee \ x>\sqrt{2}\end{cases}

 

Per trovare le soluzioni del sistema tracciamo l'apposito grafico:

 

 

Soluzioni della disequazione logaritmica - 2

 

 

le soluzioni del sistema sono date da

 

x<-\sqrt{2}\vee x>\sqrt{2}

 

Con gli intervalli:

 

\mbox{S}= (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, +\infty)

 

Secondo tipo di disequazione logaritmica

 

Caso 2:  \log_{a}{[f(x)]} \gtreqless c \ \iff \ \begin{cases} f(x)>0 \\ \log_{a}{[f(x)]}\gtreqless c\end{matrix}\right

 

Metodo risolutivo

 

Come nel caso precedente scegliamo come seconda disequazione quella con simbolo >

 

\begin{cases} f(x)>0 \\ \log_{a}{[f(x)]}> c \end{cases}\right

 

Notiamo che è possibile scrivere la seconda disequazione come:

 

\begin{cases} f(x)>0 \\ \log_{a}{[f(x)]}> c\cdot 1 \end{cases}

 

e per come è definito il logaritmo sappiamo che, qualunque sia la sua base (purché sia positiva), loga(a)=1, dunque possiamo sostituire nella seconda disequazione:

 

\begin{cases} f(x)>0 \\ \log_{a}{[f(x)]}> c \cdot \log_{a}{(a)}\end{cases}

 

Grazie a una proprietà dei logaritmi sappiamo che vale

 

c \cdot \log_{a}{(a)}=\log_{a}{\left(a^c\right)}

 

quindi abbiamo

 

\begin{cases} f(x)>0 \\ \log_{a}{[f(x)]}> \log_{a}{\left(a^c\right)} \end{cases}

 

Ora possiamo confrontare gli argomenti dei logaritmi per risolvere le disequazioni, sempre prestando attenzione alla base (ricordate che ac è semplicemente un numero!).

 

Se a>1: risolvere la disequazione logaritmica equivale a risolvere una disequazione i cui membri sono gli argomenti dei logaritmi e avente lo stesso verso di quella di partenza


\begin{cases} f(x)>0 \\ f(x)>a^c \end{cases}\right

 

Se 0<a<1: confrontiamo gli argomenti dei logaritmi in una disequazione avente verso opposto a quello della disequazione di partenza


\begin{cases} f(x)>0 \\ f(x)<a^c\end{cases}

 

Esempi sulle disequazioni logaritmiche

 

1) \log_{5}{(2x+7)}\leq 3

 

Scriviamo la disequazione a sistema con le sue condizioni di esistenza:

 

\begin{cases} 2x+7>0 \\ \log_{5}{(2x+7)}\leq 3\end{cases}

 

Liberiamoci di quel logaritmo pensando a 3 come 3·1 e scrivendo 1 come log5(5):

 

\begin{cases} 2x+7>0 \\ \log_{5}{(2x+7)} \leq 3\log_{5}{(5)}\end{cases}

 

Grazie alle proprietà dei logaritmi possiamo spostare 3 ad esponente dell'argomento del logaritmo di cui è coefficiente:

 

\begin{cases} 2x+7>0 \\ \log_{5}{(2x+7)}\leq \log_{5}{(5^3)}\end{cases}

 

Adesso che abbiamo logaritmi da entrambe le parti possiamo confrontare gli argomenti, e poiché la base dei logaritmi è maggiore di 1 lo facciamo in una disequazione avente lo stesso verso della disequazione logaritmica:

 

\begin{cases} 2x+7>0\\ 2x+7\leq 5^3\end{cases}

 

Svolgiamo i calcoli e risolviamo entrambe le disequazioni:

 

\begin{cases} x>-\frac{7}{2}\\ x\leq 59\end{cases}

 

Riportiamo le soluzioni nel grafico che usiamo per risolvere i sistemi:

 

 

Soluzioni della disequazione logaritmica - 3

 

 

Le soluzioni del sistema e quindi della disequazione logaritmica da cui siamo partiti sono date da

 

-\frac{7}{2}<x\leq59

 

ovvero

 

\mbox{S}=\left(-\frac{7}{2},59 \right]

 

 


 

2) \log_{\frac{1}{3}}{(10x-1)}<2

 

Procediamo come prima:

 

\begin{cases} 10x-1>0\\ \log_{\frac{1}{3}}{(10x-1)}<2\end{cases}

 

Osserviamo che 2=2·1 e che 1=\log_{\frac{1}{3}}{\left(\frac{1}{3}\right)}

 

Sostituendo nel sistema:

 

\begin{cases} 10x-1>0\\ \log_{\frac{1}{3}}{(10x-1)}<2\log_{\frac{1}{3}}{\left(\frac{1}{3}\right)}\end{cases}

 

Utilizziamo le proprietà dei logaritmi per scrivere 2 come esponente dell'argomento del logaritmo:

 

\begin{cases} 10x-1>0\\ \log_{\frac{1}{3}}{(10x-1)}<\log_{\frac{1}{3}}{\left(\frac{1}{3}\right)^{2}}\end{cases}

 

Adesso che abbiamo logaritmi da entrambe le parti possiamo confrontare gli argomenti, e poiché la base dei logaritmi è compresa tra 0 e 1, lo facciamo in una disequazione avente verso opposto rispetto alla disequazione logaritmica:

 

\begin{cases} 10x-1>0\\ 10x-1>\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\end{cases}

 

Svolgiamo i calcoli e risolviamo entrambe le disequazioni:

 

\begin{cases}x>\frac{1}{10}\\ x>\frac{1}{9}\end{cases}

 

Rappresentiamole nella ormai nota tabella risolutiva dei sistemi:

 

 

Soluzioni della disequazione logaritmica - 4

 

 

Le soluzioni del sistema e della disequazione logaritmica ad esso associata sono per

 

x>\frac{1}{9}, \ \mbox{ovvero S}=\left(\frac{1}{9}, +\infty\right)

 

Terzo tipo di disequazione logaritmica

 

Caso 3\log_{a}{[f(x)]} \gtreqless \log_{b}{[g(x)]} \ \iff \ \begin{cases} f(x)>0 \\ g(x)>0 \\ \log_{a}{[f(x)]}\gtreqless \log_{b}{[g(x)]}\end{matrix}\right

 

Metodo risolutivo

 

Nel caso in cui le basi dei due logaritmi fossero uguali, avremmo la strada spianata. Infatti per le prime due disequazioni non ci sono problemi. Per quanto riguarda l'ultima possiamo passare direttamente all'esponenziale (togliere cioè il logaritmo) prestando attenzione solo alla base del logaritmo. Infatti, come ormai dovreste aver capito, se essa è maggiore di 1 il verso della disequazione rimane inalterato, altrimenti dobbiamo cambiarlo.

 

Nel caso più delicato in cui le due basi sono diverse, scegliendo ad esempio di risolvere la disequazione logaritmica con simbolo >, avremmo:

 

\begin{cases} f(x)>0\\g(x)>0\\\log_{a}{[f(x)]}> \log_{b}{[g(x)]}\end{cases}

 

Notate che le condizioni di esistenza sono due, infatti dobbiamo assicurarci che gli argomenti di entrambi i logaritmi siano strettamente positivi, e li mettiamo a sistema perché devono essere positivi entrambi, in sostanza non vogliamo che un logaritmo sia definito mentre l'altro no!

 

Qui la difficoltà sta tutta nel fatto che abbiamo due logaritmi con basi diverse.

 

Fortunatamente sappiamo cambiare le basi dei logaritmi a nostro piacimento. Vale in generale la formula del cambiamento di base per i logaritmi:

  

\log_{b}{(c)}=\frac{\log_{a}{(c)}}{\log_{a}{(b)}}

 

Nel nostro caso c=g(x), quindi si ha:

 

\log_{b}{[g(x)]}=\frac{\log_{a}{[g(x)]}}{\log_{a}{(b)}}

 

Sostituiamo nel sistema:

  

{\begin{cases} f(x)>0\\g(x)>0\\ \log_{a}{[f(x)]}>\frac{\log_{a}{[g(x)]}}{\log_{a}{(b)}}\end{cases}

   

Ora loga(b) è soltanto un numero, quindi possiamo portarlo all'esponente dell'argomento del logaritmo:

 

\begin{cases} f(x)>0\\g(x)>0\\ \log_{a}{[f(x)]}>log_a\left[[g(x)]}^{\frac{1}{\log_a{(b)}}\right]\end{cases}

 

Procediamo al solito confronto tra argomenti dei logaritmi:

 

Se a>1: risolvere la disequazione logaritmica equivale a risolvere una disequazione i cui membri sono gli argomenti dei logaritmi e avente lo stesso verso di quella di partenza:


\begin{cases}f(x)>0 \\ g(x)>0\\ f(x)>[g(x)]^{\frac{1}{\log_{a}{(b)}}}\end{cases}

 

Se 0<a<1: confrontiamo gli argomenti dei logaritmi in una disequazione avente verso opposto a quello della disequazione di partenza:


\begin{cases}f(x)>0\\g(x)>0\\ f(x)<[g(x)]^{\frac{1}{\log_{a}{(b)}}}\end{cases}

 

Tutto questo sembra abbastanza complicato, ma gli esempi dovrebbero chiarire ogni dubbio!

 

Esempi

 

1. \log_{2}{(x-3)}>\log_{4}{(5x-1)}

 

Procediamo mettendo a sistema la disequazione logaritmica con tutte le sue condizioni di esistenza:

 

\begin{cases}x-3>0\\5x-1>0\\ \log_{2}{(x-3)}>\log_{4}{(5x-1)}\end{cases}

 

Cambiamo la base del secondo logaritmo portandola da 4 a 2:

 

\log_{4}{(5x-1)}=\frac{\log_{2}{(5x-1)}}{\log_{2}{(4)}}

 

\log_{4}{(5x-1)}=\frac{\log_{2}{(5x-1)}}{\log_{2}{(2^2)}}

 

\log_{4}{(5x-1)}=\frac{\log_{2}{(5x-1)}}{2}

 

Sostituiamo:

 

\begin{cases}x-3>0\\5x-1>0\\ \log_{2}{(x-3)}>\frac{\log_{2}{(5x-1)}}{2}\end{cases}

 

Moltiplichiamo entrambi i membri della terza disequazione per 2 che è un numero positivo, di conseguenza la disequazione conserva il suo verso:

 

\begin{cases}x-3>0\\5x-1>0\\ 2\log_{2}{(x-3)}>\log_{2}{(5x-1)}\end{cases}

 

Grazie alle proprietà dei logaritmi portiamo il coefficiente del logaritmo a esponente dell'argomento nella terza disequazione:

 

\begin{cases}x-3>0\\5x-1>0\\ \log_{2}{(x-3)^2}>\log_{2}{(5x-1)}\end{cases}

 

Confrontiamo gli argomenti dei logaritmi in una disequazione con verso identico a quello della disequazione logaritmica (la base è 2, quindi è maggiore di 1):

 

\begin{cases}x-3>0\\ 5x-1>0\\ (x-3)^2>5x-1\end{cases}

 

Sviluppiamo il quadrato del binomio e risolviamo le prime due disequazioni di primo grado:

 

\begin{cases}x>3\\ x>\frac{1}{5}\\ x^2-6x+9>5x-1\end{cases}

 

\begin{cases}x>3\\ x>\frac{1}{5}\\ x^2-11x+10>0\end{cases}

 

L'ultima disequazione è di secondo grado e l'equazione di secondo grado associata ha soluzioni:

 

x_1=1 \ \mbox{e} \ x_2=10

 

quindi abbiamo:

 

\begin{cases}x>3\\ x>\frac{1}{5}\\ x<1\vee x>10\end{cases} 

 

Rappresentiamole graficamente:

 

 

Soluzioni della disequazione logaritmica - 5

 

 

Le soluzioni del sistema sono quindi date da

 

x>10

 

Ovvero:

 

\mbox{S}=(10, +\infty)

 

 


 

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Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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