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Disequazioni esponenziali

Si dice esponenziale una disequazione in cui l'incognita compare come esponente: nelle righe a seguire esponiamo i metodi per risolvere le principali tipologie di disequazioni esponenziali, e vedremo alcuni esempi in cui applicarli.

 

Come risolvere le disequazioni esponenziali

 

Molto dipende dalla disequazione che abbiamo di fronte; procediamo quindi per casi Wink

 

Caso I) a^{f(x)}\gtreqless a^{g(x)}

 

Le disequazioni esponenziali più semplici sono quelle in cui riusciamo a ricondurci ad avere esponenziali di uguale base a destra e a sinistra del simbolo di disuguaglianza:


a^{f(x)}>a^{g(x)}
a^{f(x)}\geq a^{g(x)}
a^{f(x)}<a^{g(x)}
a^{f(x)}\leq a^{g(x)}

 

dove f(x) e g(x) sono espressioni contenti x.

 

Risoluzione

 

1. Se a>1 è sufficiente confrontare gli argomenti dei due esponenziali in una disequazione avente come verso il verso della disequazione di partenza.

 

2. Se 0<a<1 bisogna confrontare i due esponenti in una disequazione avente come verso il verso opposto a quello della disequazione di partenza.

 

Esempi

 

A) Risolviamo la disequazione esponenziale

 

2^{9x+5}>2^{x-7}

 

La base dell'esponenziale è maggiore di 1 ed è la stessa a destra e a sinistra, quindi è sufficiente confrontare gli esponenti mantenendo il verso della disequazione:

 

9x+5>x-7

 

abbiamo ottenuto una disequazione di primo grado; svolgiamo i calcoli

 

8x>-12

 

x>-\frac{12}{8}

 

la soluzione della disequazione esponenziale è data da

 

x>-\frac{3}{2}

 

 


 

 

B) Passiamo alla disequazione esponenziale

 

\left(\frac{1}{3}\right)^{x^2+3}>\left(\frac{1}{3}\right)^{4x}

 

La base dell'esponenziale è compresa tra 0 e 1 ed è la stessa a destra e a sinistra, quindi dobbiamo confrontare gli esponenti in una disequazione con verso opposto a quella di partenza:

 

x^2+3<4x

 

x^2-4x+3<0

 

ci siamo ricondotti a una disequazione di secondo grado. Risolviamola: partiamo risolvendo l'equazione di secondo grado ad essa associata

 

x^2-4x+3=0

 

x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{16-12}}{2}

 

x_1=1 \ \vee \ x_2=3

 

le soluzioni della disequazioni sono per valori compresi tra le due soluzioni dell'equazione associata:

 

1<x<3

 

Just for the curious: perché dobbiamo cambiare il verso quando la base è compresa tra 0 e 1?

 

Consideriamo la disequazione esponenziale

 

a^{f(x)}>a^{g(x)} \ \mbox{, con } \ 0<a<1

 

consideriamo i reciproci di entrambi i membri della disequazione:

 

\left(\frac{1}{a}\right)^{-f(x)}>\left(\frac{1}{a}\right)^{-g(x)}

 

Ora, essendo 0 <a< 1 \ \mbox{avremo} \ \frac{1}{a} > 1, quindi possiamo procedere confrontando gli esponenti in una disequazione con lo stesso verso di quella che abbiamo appena scritto:

 

-f(x)>-g(x)

 

ovvero, cambiando i segni

 

f(x)<g(x)

 

cioè proprio la disequazione che ci aspettavamo per esponenziali con base compresa tra 0 e 1.

 

 


 


Caso II)  a^{f(x)}\gtreqless b

 

Cosa fare quando dobbiamo confrontare un esponenziale con una costante? Se vi trovate davanti a una disequazione esponenziale di questo tipo

 

a^{f(x)}>b
a^{f(x)}\geq b
a^{f(x)}<b
a^{f(x)}\leq b

 

dovete semplicemente utilizzare l'operazione inversa rispetto all'esponenziale, cioè il logaritmo. Consideriamo ad esempio

 

a^{f(x)}>b

 

Risoluzione

 

1. Calcoliamo il logaritmo in base a di entrambi i membri della disequazione: dobbiamo distinguere due casi

 

I) Se a>1: la disequazione mantiene il suo verso

 

\log_a{(a^{f(x)})}>\log_a{(b)}

 

II) Se 0<a<1: dobbiamo cambiare il verso della disequazione

 

\log_a{(a^{f(x)})}<\log_a{(b)}

 

2. Grazie alle proprietà dei logaritmi rispetto agli esponenti dell'argomento possiamo riscrivere le due disequazioni rispettivamente come

 

f(x)\cdot \log_a{(a)}>\log_a{(b)}

 

f(x)\cdot \log_a{(a)}<\log_a{(b)}

 

3. Per definizione il logaritmo \log_{a}(a)=1 quindi otteniamo:

 

nel caso a>1

 

f(x)>\log_a{(b)}

 

e nel caso 0<a<1

 

f(x)<\log_a{(b)}

 

4. La disequazione a questo punto è facilmente risolubile, ricordate infatti che loga(b) è soltanto un numero!

 

Esempio

 

Proviamo a risolvere la disequazione esponenziale

 

3^{2x+1}\leq 7

 

1. Calcoliamo il logaritmo in base 3 di entrambi i membri, la disequazione conserva il suo verso poiché la base è maggiore di 1:

 

\log_{3}{(3^{2x+1})}\leq \log_3{(7)}

 

2. Grazie alle proprietà dei logaritmi e tenendo conto che \log_{3}(3)=1 si ha

 

2x+1\leq \log_3{(7)}

 

3. Svolgendo i caloli otteniamo la soluzione della disequazione:

 

x\leq \frac{\log_3{(7)}-1}{2}

 

 


 

 

Caso III) a^{f(x)}\gtreqless b^{g(x)}

 

È possibile incontrare disequazioni esponenziali dove compaiono due esponenziali con basi diverse, cioè disequazioni del tipo

 

a^{f(x)}>b^{g(x)}
a^{f(x)}\geq b^{g(x)}
a^{f(x)}<b^{g(x)}
a^{f(x)}\leq b^{g(x)}

Risoluzione (tramite esempi)

 

A) Cerchiamo le soluzioni della disequazione esponenziale

 

2^{x+3}>5^{3x-2}

 

Calcoliamo il logaritmo naturale (logaritmo in base e), di entrambi i membri della disuguaglianza:

 

\ln{(2^{x+3})}>\ln{(5^{3x-2})}

 

Nota bene: possiamo calcolare il logaritmo senza problemi poiché la funzione esponenziale è strettamente positiva.

 

Grazie alle proprietà dei logaritmi possiamo riscrivere la disequazione trasformando gli esponenti degli argomenti dei logaritmi in coefficienti dei logaritmi:

 

(x+3)\ln{(2)}>(3x-2)\ln{(5)}

 

Il nostro obiettivo è isolare la x. Svolgiamo le moltiplicazioni, ricordate che i logaritmi sono semplicemente numeri:

 

x\ln{(2)}+3\ln{(2)}>3x\ln{(5)}-2\ln{(5)}

 

Cerchiamo di isolare l'incognita:

 

x\ln{(2)}-3x\ln{(5)}>-3\ln{(2)}-2\ln{(5)}

 

x[\ln{(2)}-3\ln{(5)}]>-3\ln{(2)}-2\ln{(5)}

 

Siamo alla fine, dobbiamo solo dividere entrambi i membri per ln(2)-3ln(5).

 

Ora la parte delicata: come abbiamo visto nella lezione introduttiva sulle disequazioni se dividiamo per un numero negativo dobbiamo cambiare il verso della disequazione.

 

Dunque la domanda è ln(2)-3ln(5) è positivo o negativo?

 

Sapendo che il logaritmo con base maggiore di 1 è strettamente crescente, abbiamo:

 

ln(2)<ln(3)<...<ln(10). Possiamo quindi dedurre che ln(2)<ln(5) e quindi a maggior ragione ln(2)<3ln(5) (moltiplicando per 3 non possiamo che ottenere un numero ancora più grande).

 

Di conseguenza ln(2)-3ln(5)<0, quindi dividendo entrambi i membri per questa quantità dovremo cambiare il verso della disequazione:

 

\frac{x(\ln{(2)}-3\ln{(5)})}{\ln{(2)}-3\ln{(5)}}<\frac{-3\ln{(2)}-2\ln{(5)}}{\ln{(2)}-3\ln{(5)}}

 

Ottenendo l'intervallo di soluzione della disequazione esponenziale:

 

x<\frac{-3\ln{(2)}-2\ln{(5)}}{\ln{(2)}-3\ln{(5)}}

 

 


 

 

Caso IV) disequazioni esponenziali risolubili tramite sostituzione.

 

Se vi trovate davanti a una disequazione esponenziale dall'aspetto particolarmente difficile, perché somma di più esponenziali, iniziate subito a sospettare che si possa risolvere tramite sostituzione, che consiste nel porre il termine esponenziale che si ripete uguale ad una nuova variabile. Col seguente esempio sarà tutto più chiaro. In fin dei conti è lo stesso metodo visto nella risoluzione delle equazioni esponenziali Wink

 

Consideriamo la disequazione esponenziale seguente:

 

e^{3x}+e^{2x}-4e^x-4\leq 0

 

Guardando i coefficienti di x all'esponente (i numeri che moltiplicano x), e ricordando la seguente proprietà delle potenze:

 

\left((a)^b\right)^c=a^{b\cdot c}

 

possiamo scrivere la nostra disequazione di partenza come:

 

\left(e^x\right)^3+\left(e^x\right)^2-4e^x-4 \leq 0

 

A questo punto, ponendo {\color{red}e^x=t} la disequazione esponenziale assomiglia, in questo caso, a una disequazione di grado superiore al secondo:

 

t^3+t^2-4t-4\leq 0

 

Effettuando un raccoglimento parziale avremo:

 

t^2(t+1)-4(t+1)\leq 0

 

Raccogliendo a fattor comune (t+1)

 

(t^2-4)(t+1)\leq 0

 

A questo punto andandiamo a studiare il segno di ogni singolo fattore (ponendolo maggiore o uguale a zero), per poi confrontare le soluzioni nella solita tabella:

 

Studio del segno: fattore 1)

 

t^2-4\geq 0

 

t\leq -2 \ \vee \ t\geq 2

 

 

Fattore 2)

t+1\geq 0

 

t\geq -1

 

Tabella dello studio dei segni:

 

 

Tabella dei segni di una disequazione esponenziale

 

 

La richiesta iniziale della disequazione era di trovare i valori per cui fosse negativa, ovvero per:

 

t \leq -2 \ \vee \ -1\leq t \leq 2

 

A questo punto, ricordandoci del cambio di variabile fatto: e^x=t, avremo:

 

e^x \leq -2 \ \to \ \mbox{soddisfatta per nessun valore di x}

 

in quanto la funzione esponenziale è strettamente positiva. Dobbiamo anche considerare

 

-1 \leq e^x \leq 2

 

che equivale a scrivere:

 

e^x \geq -1 \ \mbox{soddisfatta per ogni valore di x}

 

e^x \leq 2 \ \iff \ x \leq \ln(2)

 

La soluzione della nostra disequazione esponenziale è quindi: x \leq \ln(2).

 

 


 

  

Caso V) equazioni esponenziali con metodo grafico.

 

Se abbiamo una disequazione del tipo:

 

a^{f(x)} \gtreqless g(x)

 

ovvero una disequazione in cui l'incognita non compare solo all'esponente, non abbiamo molta scelta. L'unico modo di procedere è il metodo grafico, il quale ci permetterà solo di farci un'idea delle soluzioni. 

 

Vediamo come procedere:

 

Una volta che ci siamo ricondotti alla forma normale a^{f(x)} \gtreqless g(x), tracceremo il grafico delle funzioni:

 

y=a^{f(x)} \ \mbox{e} \ y=g(x) magari ricorrendo al metodo del grafico intuitivo.

 

Fatto questo, se la nostra disequazione è:

 

\bullet \ a^{f(x)} \geq g(x) \ \mbox{oppure} \ a^{f(x)} > g(x)

 

l'insieme delle soluzioni è dato dall'unione degli intervalli delle ascisse in cui il grafico di y=a^{f(x)} si trova al di sopra del grafico di y=g(x).

 

Se invece abbiamo:

 

\bullet \ a^{f(x)} \leq g(x) \ \mbox{oppure} \ a^{f(x)} < g(x)

 

l'insieme delle soluzioni è dato dall'unione degli intervalli delle ascisse in cui il grafico di y=a^{f(x)} si trova al di sotto del grafico di y=g(x).

 

Ovviamente, in entrambi i casi, includeremo o escuderemo gli estremi a seconda che ci sia o meno l'uguale.

 

Il seguente esempio chiarirà tutto Wink

 

\left(\frac{1}{3}\right)^x+x^2-2 \geq 0

 

Riscrivendola come:

 

\left(\frac{1}{3}\right)^x \geq -x^2+2

 

ci riconduciamo ad avere a destra la funzione esponenziale con base compresa tra 0 e 1:

 

y=\left(\frac{1}{3}\right)^x

 

e a sinistra un polinomio di grado 2 che altro non è se non una parabola:

 

y=-x^2-2

 

con vertice nel punto (0,2), asse parallelo all'asse y e concavità rivolta verso il basso.

 

Tracciamo il grafico delle due funzioni:

 

 

Disequazione esponenziale con metodo grafico

 

 

Poiché la nostra disequazione era:

 

\left(\frac{1}{3}\right)^x {\color{red}\geq} -x^2+2

 

Dobbiamo vedere quando la funzione esponenziale vive al di sopra della parabola. Detti A e B i due punti di intersezione tra le due funzioni abbiamo che:

 

\left(\frac{1}{3}\right)^x {\color{red}\geq} -x^2+2 \ \iff \ x\leq x_A \ \vee \ x \geq x_B

 

Come si può facilmente vedere dal grafico appena tracciato Wink

 

Volendo trovare il valore approssimato di x_A \ \mbox{e} \ x_B si può ricorrere al metodo di bisezione o al metodo delle tangenti.

 

Questo genere di disequazione ha in realtà un nome. Sono conosciute col nome di disequazioni trascendenti - click per approfondire!

 


 

 

Per questa lezione è tutto! In caso di dubbi o domande nessun problema! Abbiamo decine di migliaia di problemi risolti e di esercizi spiegati fino all'ultimo passaggio, e potrai trovare tutto quello che ti serve con la barra di ricerca di YM; eventualmente puoi anche contattarci!

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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