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Disequazioni esponenziali

Si dice esponenziale una disequazione in cui l'incognita compare come esponente: nelle righe a seguire esponiamo i metodi per risolvere le principali tipologie di disequazioni esponenziali, e vedremo alcuni esempi in cui applicarli.

 

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Come risolvere le disequazioni esponenziali

 

Riusciremo sempre a portare le disequazioni esponenziali a una delle forme seguenti:

 

a^{f(x)}>b
a^{f(x)}\geq b
a^{f(x)}<b
a^{f(x)}\leq b

 

Procediamo per casi in modo da capire come si risolvono queste quattro possibili disequazioni e come è possibile portare a quella forma una disequazione esponenziale più complessa.

 

Caso 1: a^{f(x)}\gtreqless a^{g(x)}

 

Le disequazioni esponenziali più semplici sono quelle in cui riusciamo a ricondurci ad avere esponenziali di uguale base a destra e a sinistra del simbolo di disuguaglianza:


a^{f(x)}>a^{g(x)}
a^{f(x)}\geq a^{g(x)}
a^{f(x)}<a^{g(x)}
a^{f(x)}\leq a^{g(x)}

 

dove f(x) e g(x) sono espressioni contenti x.

 

Risoluzione

 

1. Se a>1 è sufficiente confrontare gli argomenti dei due esponenziali in una disequazione avente come verso il verso della disequazione di partenza.

 

2. Se 0<a<1 bisogna confrontare i due esponenti in una disequazione avente come verso il verso opposto a quello della disequazione di partenza.

 

Esempi

 

A) Risolviamo la disequazione esponenziale

 

2^{9x+5}>2^{x-7}

 

La base dell'esponenziale è maggiore di 1 ed è la stessa a destra e a sinistra, quindi è sufficiente confrontare gli argomenti mantenendo il verso della disequazione:

 

9x+5>x-7

 

abbiamo ottenuto una disequazione di primo grado, svolgiamo i calcoli

 

8x>-12

 

x>-\frac{12}{8}

 

la soluzione della disequazione esponenziale è data da

 

x>-\frac{3}{2}

 

B) Passiamo alla disequazione esponenziale

 

\left(\frac{1}{3}\right)^{x^2+3}>\left(\frac{1}{3}\right)^{4x}

 

La base dell'esponenziale è compresa tra 0 e 1 ed è la stessa a destra e a sinistra, quindi dobbiamo confrontare gli esponenti in una disequazione con verso opposto a quella di partenza:

 

x^2+3<4x

 

x^2-4x+3<0

 

ci siamo ricondotti a una disequazione di secondo grado, risolviamola: partiamo risolvendo l'equazione associata

 

x^2-4x+3=0

 

x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{16-12}}{2}

 

x_1=1 \wedge x_2=3

 

le soluzioni della disequazioni sono per valori compresi tra le due soluzioni dell'equazione associata:

 

1<x<3

 

Just for the curious


Perché bisogna cambiare il verso della disequazione quando la base dell'esponenziale è compresa tra 0 e 1?

 

È sufficiente ricordare una proprietà delle potenze:

 

a^{x}=\left(\frac{1}{a}\right)^{-x}

 

Se 0<a<1, allora 1/a è più grande di 1, (ad esempio 1/3 è compreso tra 0 e 1, e 1/(1/3)=3 è decisamente maggiore di 1!!).

 

Consideriamo la disequazione esponenziale

 

a^{f(x)}>a^{g(x)}\mbox{, con }0<a<1

 

consideriamo i reciproci di entrambi i membri della disequazione:

 

\left(\frac{1}{a}\right)^{-f(x)}>\left(\frac{1}{a}\right)^{-g(x)}

 

Ora per l'affermazione che abbiamo fatto prima se 0<a<1 abbiamo che 1/a>1, quindi procediamo confrontando gli esponenti in una disequazione con lo stesso verso di quella che abbiamo appena scritto:

 

-f(x)>-g(x)

 

ovvero, cambiando i segni

 

f(x)<g(x)

 

cioè proprio la disequazione che ci aspettavamo per esponenziali con base compresa tra 0 e 1.

 

Caso 2:  a^{f(x)}\gtreqless b

 

Cosa fare quando dobbiamo confrontare un esponenziale con una costante? Se vi trovate davanti a una disequazione esponenziale di questo tipo

 

a^{f(x)}>b
a^{f(x)}\geq b
a^{f(x)}<b
a^{f(x)}\leq b

 

dovete semplicemente utilizzare l'operazione inversa rispetto all'esponenziale, cioè il logaritmo. Consideriamo ad esempio

 

a^{f(x)}>b

 

Risoluzione

 

1. Calcoliamo il logaritmo in base a di entrambi i membri della disequazione: dobbiamo distinguere due casi

 

I) Se a>1 la disequazione mantiene il suo verso

 

\log_a{(a^{f(x)})}>\log_a{(b)}

 

II) Se 0<a<1 dobbiamo cambiare il verso della disequazione

 

\log_a{(a^{f(x)})}<\log_a{(b)}

 

2. Grazie alle proprietà dei logaritmi rispetto agli esponenti dell'argomento possiamo riscrivere le due disequazioni rispettivamente come

 

f(x)\log_a{(a)}>\log_a{(b)}

 

f(x)\log_a{(a)}<\log_a{(b)}

 

3. Per definizione il logaritmo in base a di a vale 1, quindi otteniamo:

 

nel caso a>1

 

f(x)>\log_a{(b)}

 

e nel caso 0<a<1

 

f(x)<\log_a{(b)}

 

4. La disequazione a questo punto è facilmente risolubile, infatti ricordate che loga(b) è soltanto un numero!

 

Esempio

 

Proviamo a risolvere la disequazione esponenziale

 

3^{2x+1}\leq 7

 

1. Calcoliamo il logaritmo in base 3 di entrambi i membri, la disequazione conserva il suo verso poiché la base è maggiore di 1:

 

\log_{3}{(3^{2x+1})}\leq \log_3{(7)}

 

2. Grazie alle proprietà dei logaritmi e tenendo conto che log3(3)=1 si ha

 

2x+1\leq \log_3{(7)}

 

3. Svolgendo i caloli otteniamo la soluzione della disequazione:

 

x\leq \frac{\log_3{(7)}-1}{2}

 

 

Caso 3: a^{f(x)}\gtreqless b^{g(x)}

 

È possibile incontrare disequazioni esponenziali dove compaiono due esponenziali con basi diverse, cioè disequazioni del tipo

 

a^{f(x)}>b^{g(x)}
a^{f(x)}\geq b^{g(x)}
a^{f(x)}<b^{g(x)}
a^{f(x)}\leq b^{g(x)}

Risoluzione (tramite esempi)

 

 

A) Cerchiamo le soluzioni della disequazione esponenziale

 

2^{x+3}>5^{3x-2}

 

Calcoliamo il logaritmo naturale (logaritmo in base e), di entrambi i membri della disuguaglianza:

 

\ln{(2^{x+3})}>\ln{(5^{3x-2})}

 

Nota bene: possiamo calcolare il logaritmo poiché gli esponenziali sono sempre strettamente positivi.

 

Grazie alle proprietà dei logaritmi possiamo riscrivere la disequazione trasformando gli esponenti degli argomenti dei logaritmi in coefficienti dei logaritmi:

 

(x+3)\ln{(2)}>(3x-2)\ln{(5)}

 

Il nostro obiettivo è isolare la x. Svolgiamo le moltiplicazioni, ricordate che i logaritmi sono semplicemente numeri:

 

x\ln{(2)}+3\ln{(2)}>3x\ln{(5)}-2\ln{(5)}

 

Cerchiamo di isolare l'incognita:

 

x\ln{(2)}-3x\ln{(5)}>-3\ln{(2)}-2\ln{(5)}

 

x(\ln{(2)}-3\ln{(5)})>-3\ln{(2)}-2\ln{(5)}

 

Siamo alla fine, dobbiamo solo dividere entrambi i membri per ln(2)-3ln(5). Ora la parte delicata: ricordate che se dividiamo per un numero negativo dobbiamo cambiare il verso della disequazione? Dunque la domanda è ln(2)-3ln(5) è positivo o negativo? Sapendo che il logaritmo è strettamente crescente, quindi ln(2)<ln(3)<...<ln(10), possiamo dedurre che ln(2)<ln(5) e quindi a maggior ragione ln(2)<3ln(5) (moltiplicando per 3 non possiamo che ottenere un numero ancora più grande), di conseguenza ln(2)-3ln(5)<0, quindi dividendo entrambi i membri per questa quantità dovremo cambiare il verso della disequazione:

 

\frac{x(\ln{(2)}-3\ln{(5)})}{\ln{(2)}-3\ln{(5)}}<\frac{-3\ln{(2)}-2\ln{(5)}}{\ln{(2)}-3\ln{(5)}}

 

Ottenendo l'intervallo di soluzione della disequazione esponenziale:

 

x<\frac{-3\ln{(2)}-2\ln{(5)}}{\ln{(2)}-3\ln{(5)}}

 

Caso 4: disequazioni esponenziali risolubili tramite sostituzione

 

Se vi trovate davanti a una disequazione esponenziale dall'aspetto particolarmente difficile, perché somma di più esponenziali, iniziate subito a sospettare che si possa risolvere tramite sostituzione, ovvero che si possa ricondurre quella disequazione a uno dei casi che abbiamo trattato prima ponendo, ad esempio, ex=t. Vediamo subito un esempio:

 

consideriamo la disequazione esponenziale seguente:

 

e^{3x}+e^{2x}-4e^x-4\leq 0

 

Guardando i coefficienti di x all'esponente (i numeri che moltiplicano x), e ricordando come si scrive una potenza di potenza

 

\left((a)^b\right)^c=a^{b\cdot c}

 

si vede come ponendo ex=t la disequazione esponenziale assomiglia, in questo caso, a una disequazione di grado superiore al secondo:

 

t^3+t^2-4t-4\leq 0

 

È possibile risolverla tramite raccoglimenti opportuni:

 

t^2(t+1)-4(t+1)\leq 0

 

(t^2-4)(t+1)\leq 0

 

riconoscendo nel primo fattore il prodotto notevole a2-b2=(a-b)(a+b) possiamo scomporre la disequazione in prodotto di fattori di primo grado ottenendo

 

(t-2)(t+2)(t+1)\leq 0

 

A questo punto sfruttiamo la legge di annullamento del prodotto andando a studiare il segno di ogni singolo fattore (ponendolo maggiore o uguale a zero), per poi confrontare le soluzioni nella solita tabella:

 

Studio del segno: fattore 1)

 

t-2\geq 0

 

t\geq 2

 

Non dimenticatevi che avevamo posto t=ex, quindi dobbiamo risolvere

 

e^x\geq 2

 

che ha soluzioni

 

x\geq \ln{(2)}

 

Fattore 2)

t+2\geq 0

 

t\geq -2

 

Risolviamo

 

e^x\geq -2

 

L'esponenziale è sempre positivo, quindi sarà sempre maggiore di -2! Dunque abbiamo soluzioni per ogni x.

 

Fattore 3)

t+1\geq 0

 

t\geq -1

 

Risolviamo

 

e^x\geq -1

 

Stesso discorso di prima! L'esponenziale è una funzione positiva, dunque ogni x è soluzione della disequazione.

 

Tabella:

 

Tabella dei segni di una disequazione esponenziale

 

La soluzione è quella evidenziata dal rettangolo, infatti la richiesta iniziale della disequazione era di trovare i valori per cui fosse negativa, ovvero x<ln2.

 


  

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\alpha

 

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