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Disequazioni irrazionali

Tra le varie tipologie di disequazioni che capita di dover risolvere possiamo incontrare le disequazioni irrazionali. Una disequazione si dice irrazionale se l'incognita compare come argomento di una radice. Avremo a che fare con espressioni di questo tipo:

 

\sqrt[n]{f(x)}>g(x)
\sqrt[n]{f(x)}\geq g(x)
\sqrt[n]{f(x)}< g(x)
\sqrt[n]{f(x)}\leq g(x)

 

dove f(x) e g(x) sono espressioni qualsiasi contenenti x, e n è l'indice della radice. Dobbiamo distinguere due casi, che tratteremo nel dettaglio

 

Disequazioni irrazionali con radice ad indice pari

 

Caso I)disequazioni irrazionali con radice ad indice pari e verso maggiore: >

 

Se n è pari risolvere la disequazione

 

\sqrt[n]{f(x)}\textgreater g(x)

 

equivale a risolvere i due sistemi per poi considerare l'unione delle loro soluzioni:

 

\begin{cases}f(x)\geq 0\\ g(x)\geq 0\\ f(x)\textgreater [g(x)]^n\end{cases} \bigcup \  \begin{cases}f(x)\geq 0\\ g(x)< 0\end{cases}

 

Perché bisogna fare tutto questo? Analizziamo una per una le disequazioni che compongono i due sistemi:

 

Primo sistema:

 

\begin{cases}f(x)\geq 0\\ g(x)\geq 0\\ f(x)\textgreater [g(x)]^n\end{cases}\right

 

La prima disequazione è la condizione di esistenza della radice di indice pari. La seconda disequazione equivale ad imporre che g(x) sia positivo, infatti non sappiamo a priori se il secondo membro sia positivo o negativo. La terza disequazione va imposta come conseguenza delle prime due, infatti se la radice esiste (disequazione 1), e a destra del maggiore o uguale c'è un numero positivo (disequazione 2), possiamo elevare entrambi i membri della disuguaglianza alla n in modo da far sparire la radice.

 

Contemporaneamente dobbiamo considerare il secondo sistema, quello relativo al caso in cui g(x) è negativo:

 

\begin{cases}f(x)\geq 0 \\ g(x)< 0\end{cases}

 

La prima disequazione è ancora la condizione di esistenza per la radice di indice pari. Con la seconda disequazione stiamo dicendo che discutiamo il caso in cui g(x) è negativo. Non abbiamo bisogno di altre disequazioni in questo sistema, dal momento che se f(x) è positivo (disequazione 1) e g(x) è negativo (disequazione 2), allora la disuguaglianza \sqrt[n]{f(x)}\textgreater g(x) è automaticamente verificata. Questo perché una radice ad indice pari assume solamente valori positivi o alla peggio nulli.

 

Prima di proseguire con gli altri casi ritorniamo un attimo sul primo sistema:

 

\begin{cases} f(x) \geq 0 \\ g(x) \geq 0 \\ f(x) \textgreater [g(x)]^n\end{cases}

 

Osserviamo che la condizione f(x) \textgreater [g(x)]^n implica che f(x) sia maggiore di una potenza pari, ovviamente non negativa per definizione, quindi la prima delle tre condizioni, ovvero f(x) \geq 0, è implicitamente soddisfatta dall'ultima e può essere tralasciata.

 

Ricapitolando:

 

\sqrt[n]{f(x)} \textgreater g(x), \ \mbox{con n pari} \ \iff \ \begin{cases}g(x) \geq 0 \\ f(x) \textgreater [g(x)]^n \end{cases} \bigcup \ \begin{cases}g(x)\ \textless\ 0 \\ f(x) \geq 0 \end{cases}

 

 


 

Caso II): disequazioni irrazionali con radice ad indice pari e verso maggiore o uguale: ≥

 

Il ragionamento da seguire è praticamente identico al caso precedente. Basta aggiungere un ≥ invece del > alla seconda condizione del primo sistema, ovvero:

 

\sqrt[n]{f(x)} \geq g(x), \ \mbox{con n pari} \ \iff \ \begin{cases}g(x) \geq 0 \\ f(x) \geq [g(x)]^n \end{cases} \bigcup \ \begin{cases}g(x)\ \textless\ 0 \\ f(x) \geq 0 \end{cases}

 

 


 

Caso III): disequazioni irrazionali con radice ad indice pari e verso minore: <


Sempre con n pari vogliamo risolvere

 

\sqrt[n]{f(x)}\ \textless\ g(x)

 

In questo caso è sufficiente risolvere il sistema

 

\begin{cases}f(x)\geq 0\\ g(x)\textgreater 0\\ f(x)\ \textless\ [g(x)]^n\end{cases}

 

Da dove vien fuori?

 

La prima condizione, come ormai avrete capito, riguarda la condizione di esistenza della radice ad indice pari. Se essa è soddisfatta, il primo membro di \sqrt[n]{f(x)}\ \textless\ g(x) è positivo o nullo. Di conseguenza il secondo membro deve essere necessariamente strettamente positivo. Se fosse negativo o nullo la disuguaglianza non sarebbe di certo verificata in quanto, ripetiamo, a primo membro abbiamo una quantità positiva che al minimo vale zero.

 

A questo punto possiamo elevare ambo i membri alla n (per togliere la radice) e quindi vien fuori la terza condizione.

 

Quindi:

 

\sqrt[n]{f(x)} \textless g(x), \ \mbox{con n pari} \ \iff \ \begin{cases}f(x) \geq 0 \\ g(x) \textgreater 0 \\ f(x)\ \textless\ [g(x)]^n \end{cases}

 

 


 

Caso IV): disequazioni irrazionali con radice ad indice pari e verso maggiore o uguale: ≤

 

Stesso identico discorso del caso III). Basta semplicemente aggiungere un ≤ invece del < alla seconda ed alla terza condizione del sistema:

 

\sqrt[n]{f(x)} \leq g(x), \ \mbox{con n pari} \ \iff \ \begin{cases} f(x) \geq 0 \\ g(x) \geq 0 \\ f(x) \leq [g(x)]^n \end{cases}

 

Disequazioni irrazionali con radice ad indice dispari

 

La radice di indice dispari non ha condizioni di esistenza, cioè esiste per qualunque numero reale. In sostanza tutto è molto più semplice: per risolvere una disequazione irrazionale con radici di indice dispari è sufficiente elevare a tale indice entrambi i membri della disuguaglianza. Per intenderci:

 

\sqrt[n]{f(x)} \gtreqless g(x), \ \mbox{con n dispari} \ \iff \ f(x) \gtreqless [g(x)]^n

 

Questo, ribadiamo, vale qualunque sia la richiesta della disequazione:

 

>, \ \geq ,  \ \leq, \ <

 

Esempio di disequazione irrazionale

 

Proponiamoci di risolvere la disequazione irrazionale:

 

\sqrt{x+5}> x+3

 

in cui la radice ha indice pari ed il verso è il maggiore. Dobbiamo allora risolvere i due sistemi di disequazioni:

 

\begin{cases}x+3\geq 0\\ x+5>(x+3)^2\end{cases} \bigcup \ \begin{cases} x+5\geq 0\\ x+3< 0\end{cases}

 

Procediamo con ordine: risolviamo il primo sistema

 

\begin{cases} x+3\geq 0 \\ x+5>(x+3)^2\end{cases}

 

Sviluppando il quadrato del binomio:

 

\begin{cases} x+3\geq 0\\ x+5>x^2+6x+9\end{cases}

 

 Da cui, dopo qualche semplice conticino:

 

\begin{cases}x+3\geq 0 \\ x^2+5x+4<0\end{cases}

 

Abbiamo ora a che fare con una disequazione di primo grado:

 

x+3 \geq 0 \ \mbox{verificata per} \ x \geq -3

 

ed una disequazione di secondo grado:

 

x^2+5x+4\ \textless\ 0 \ \mbox{che ha come soluzioni} \ -4\ \textless\ x\ \textless\ -1

 

Il nostro sistema diventa quindi

 

\begin{cases}x\geq -3\\ -4<x<-1\end{cases}

 

Riportiamo i risultati nel grafico di risoluzione dei sistemi. Il pallino pieno indica che il numero è compreso, quello vuoto che è escluso. (N.B. non è la tabella con cui si risolvono le disequazioni fratte

 

 

Tabella per le soluzioni di una disequazione irrazionale con radice ad indice pari

 

 

La soluzione del primo sistema è

 

{\color{red}-3\leq x<-1}

 

Procediamo con la risoluzione del secondo sistema:

 

\begin{cases}x+5\geq 0\\ x+3< 0\end{cases}

 

\begin{cases}x\geq -5\\ x<-3\end{cases}

 

Grafico delle soluzioni:

 

 

Tabella per le soluzioni del sistema relativo a una disequazione irrazionale

 

 

La soluzione del secondo sistema è

 

{\color{blue}-5\leq x<-3}

 

Ora dobbiamo unire le soluzioni dei due sistemi, niente di esoterico!

 

Per non cadere in errore basta riportare sulla stessa linea i due intervalli di soluzione:

 

 

Unione delle soluzioni dei due sistemi

 

 

(con la linea rossa abbiamo rappresentato la soluzione del primo sistema, con la blu quella del secondo). 

 

Usando la notazione degli intervalli la soluzione della nostra disequazione irrazionale è quindi:

 

\mbox{S} = [-5,-1)

 

In caso di dubbi leggi la lezione introduttiva sulle disequazioni dove abbiamo spiegato e fatto svariati esempi su come scrivere l'insieme delle soluzioni di una disequazione sotto forma di intervallo. Wink

 


 

Se qualcosa non fosse chiaro non esitare! Sappi che abbiamo risolto moltissimi esercizi, interamente spiegati fino all'ultimo passaggio, e puoi trovare tutto quello che ti serve con la barra di ricerca di YM...e se non bastasse, contattaci senza alcun problema! Wink

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

 

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