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Disequazioni irrazionali

Tra le varie tipologie di disequazioni che capita di dover risolvere possiamo incontrare le disequazioni irrazionali. Una disequazione si dice irrazionale se l'incognita compare come argomento di una radice. Avremo a che fare con espressioni di questo tipo:

 

\sqrt[n]{f(x)}>g(x)
\sqrt[n]{f(x)}\geq g(x)
\sqrt[n]{f(x)}< g(x)
\sqrt[n]{f(x)}\leq g(x)

 

dove f(x) e g(x) sono espressioni qualsiasi contenti x, e n è l'indice della radice. Dobbiamo distinguere due casi, che tratteremo nel dettaglio

 

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Disequazioni irrazionali con radice ad indice pari

 

Il primo caso che trattiamo è quello delle disequazioni irrazionali con radice ad indice pari e simbolo di disequazione maggiore: >.

 

Se n è pari risolvere la disequazione

 

\sqrt[n]{f(x)}\geq g(x)

 

equivale a risolvere i due sistemi per poi considerare l'unione delle loro soluzioni:

 

\left\{\begin{matrix}f(x)\geq 0\\ g(x)\geq 0\\ f(x)\geq g(x)^n\end{matrix}\right\cup \left\{\begin{matrix}f(x)\geq 0\\ g(x)< 0\end{matrix}\right

 

Perché bisogna fare tutto questo? Analizziamo una per una le disequazioni che compongono i due sistemi:

 

Primo sistema:

 

\left\{\begin{matrix}f(x)\geq 0\\ g(x)\geq 0\\ f(x)\geq g(x)^n\end{matrix}\right

 

La prima disequazione è la condizione di esistenza della radice di indice pari. La seconda equazione significa supporre che g(x) sia positivo, infatti non sappiamo a priori se è positivo o negativo. La terza disequazione è una conseguenza, infatti, se la radice esiste (equazione 1), e a destra del maggiore o uguale c'è un numero positivo (equazione 2), possiamo elevare entrambi i membri della disuguaglianza alla n in modo da far sparire la radice.

 

Contemporaneamente dobbiamo considerare il secondo sistema, ovvero il caso in cui g(x) è negativo:

 

\left\{\begin{matrix}f(x)\geq 0\\ g(x)< 0\end{matrix}\right

 

La prima equazione è ancora la condizione di esistenza per la radice di indice pari. Con la seconda equazione stiamo dicendo che discutiamo il caso in cui g(x) è negativo. Non abbiamo bisogno di altre disequazioni in questo sistema, dal momento che se f(x) è positivo (equazione 1) e g(x) è negativo (equazione 2), allora la disuguaglianza

 

\sqrt[n]{f(x)}\geq g(x)

 

è automaticamente verificata.

 

Passiamo al caso delle disequazioni irrazionali con radice ad indice pari e simbolo di disequazione minore: <.

Sempre con n pari vogliamo risolvere

 

\sqrt[n]{f(x)}\leq g(x)

 

In questo caso è sufficiente risolvere il sistema

 

\left\{\begin{matrix}f(x)\geq 0\\ g(x)\geq 0\\ f(x)\leq g(x)^n\end{matrix}\right

 

Disequazioni irrazionali con radice ad indice dispari

 

La radice di indice dispari non ha condizioni di esistenza, cioè esiste per qualunque numero reale. In sostanza tutto è molto più semplice: per risolvere una disequazione irrazionale con radici di indice dispari è sufficiente elevare a tale indice entrambi i membri della disuguaglianza:

 

\sqrt[n]{f(x)}\geq g(x)

 

se e solo se

 

f(x)\geq g(x)^n

 

Questo vale qualunque sia la richiesta della disequazione:

 

>,\geq , \leq,<

 

Esempio di disequazione irrazionale

 

Cominciamo col risolvere la disequazione

 

\sqrt{x+5}> x+3

 

in cui la radice ha indice pari, quindi dobbiamo risolvere i due sistemi

 

\left\{\begin{matrix}x+5\geq 0\\ x+3\geq 0\\ x+5>(x+3)^2\end{matrix}\right\cup \left\{\begin{matrix}x+5\geq 0\\ x+3< 0\end{matrix}\right

 

Procediamo con ordine: risolviamo il primo sistema

 

\left\{\begin{matrix}x+5\geq 0\\ x+3\geq 0\\ x+5>(x+3)^2\end{matrix}\right

 

\left\{\begin{matrix}x\geq -5\\ x\geq -3\\ x+5>x^2+6x+9\end{matrix}\right

 

\left\{\begin{matrix}x\geq -5\\ x\geq -3\\ x^2+5x+4<0\end{matrix}

 

\left\{\begin{matrix}x\geq -5\\ x\geq -3\\ -4<x<-1\end{matrix}

 

Riportiamo i risultati nel grafico di risoluzione dei sistemi (N.B. non è la tabella con cui si risolvono le disequazioni fratte!):

 

Tabella per le soluzioni di una disequazione irrazionale con radice ad indice pari

 

La soluzione del sistema è

-3\leq x<-1

 

Procediamo con la risoluzione del secondo sistema:

 

\left\{\begin{matrix}x+5\geq 0\\ x+3< 0\end{matrix}\right

 

\left\{\begin{matrix}x\geq -5\\ x<-3\end{matrix}

 

Grafico delle soluzioni:

 

Tabella per le soluzioni del sistema relativo a una disequazione irrazionale

 

La soluzione del sistema è

 

-5\leq x<-3

 

Ora dobbiamo unire le soluzioni dei due sistemi, niente di esoterico, basta fare l'unione degli intervalli che erano soluzione dei due sistemi precedenti: riscriviamo le soluzioni dei sistemi con la notazione degli intervalli:

 

-3\leq x<-1 cioè x\in\[-3,-1)

 

-5\leq x<-3 cioè x\in [-5,-3)

 

L'unione delle soluzioni, e quindi la soluzione della disequazione irrazionale è data da

 

x\in\[-3,-1)\cup [-5,-3)= [-5,-1)

 


 

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\alpha

 

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Tags: disequazioni irrazionali - risoluzione di disequazioni con le radici - disequazioni con radici pari e con indici dispari.

 

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