Disequazioni fratte

Occupiamoci delle disequazioni fratte e del metodo di risoluzione delle disequazioni fratte. Una disequazione si dice fratta se l'incognita compare nel denominatore: in generale potremo sempre ricondurci ad uno dei casi seguenti:

 

\frac{N(x)}{D(x)}>0\ ;\ \frac{N(x)}{D(x)}\geq 0\ ;\ \frac{N(x)}{D(x)}<0\ ;\ \frac{N(x)}{D(x)}\leq 0

 

dove N(x) e D(x) sono espressioni contenti l'incognita x.

 

Come abbiamo visto nel caso delle equazioni fratte, la prima cosa da fare quando l'incognita compare al denominatore è discutere le condizioni di esistenza e determinare l'insieme di valori per cui il denominatore non si annulla! Ricordiamoci infatti che, ad esempio, non è possibile dividere per zero.

 

Una volta fatto questo la risoluzione della disequazione fratta si riduce al confronto di due disequazioni non fratte. Procediamo per punti.

 

Metodo risolutivo delle disequazioni fratte

 

Prima vediamo il metodo in generale, successivamente lo applicheremo in un paio di esempi. Nulla ti vieta di curiosare prima sugli esempi per poi leggere il metodo generale. :)

 

1) La prima cosa da fare consiste nella discussione delle condizioni di esistenza: guardiamo la disequazione fratta dritta nelle palle degli occhi e poniamo ogni denominatore, separatamente, diverso da zero. Dato che le condizioni di esistenza devono valere tutte quante, le riporteremo in un sistema di equazioni

 

CE:\ \begin{cases}\mbox{denominatore}_1\neq 0\\ ...\\ \mbox{denominatore}_N\neq 0\end{cases}

 

Se poi nella disequazione non dovessero comparire solamente polinomi, ma ci fossero ad esempio logaritmiradici ad indice pari e così via dovremo occuparci delle conseguenti condizioni di esistenza. Esse andranno aggiunte al sistema per le CE

 

CE:\ \begin{cases}\mbox{denominatore}_1\neq 0\\ ...\\ \mbox{denominatore}_N\neq 0\\ \mbox{altre eventuali condizioni}\end{cases}

 

Di queste, però, parleremo nelle altre lezioni sulle disequazioni: in termini di esistenza delle soluzioni, qui ci occuperemo solamente del caso in cui numeratore e denominatore sono polinomi. I termini fratti saranno quindi pure e semplici frazioni algebriche.

 

 

2) Smanettiamo con i calcoli. Dobbiamo fare tutti i conti necessari per ricondurci a una delle forme seguenti:

 

\frac{N(x)}{D(x)}>0\ ;\ \frac{N(x)}{D(x)}\geq 0\ ;\ \frac{N(x)}{D(x)}<0\ ;\ \frac{N(x)}{D(x)}\leq 0

 

 

3) Studiamo separatamente il segno del numeratore e del denominatore.

 

Per farlo, a prescindere dal simbolo di disequazione, poniamo il numeratore maggiore di zero (o maggiore-uguale, se l'uguale compare anche nella disequazione) e il denominatore strettamente maggiore di zero (in modo da escludere i punti in cui annulla).

 

In questo modo potremo capire dove numeratore e denominatore sono - separatamente - positivi, negativi o nulli.

 

In sostanza dobbiamo risolvere sempre, indipendentemente dal verso del simbolo di disequazione:

 

N(x)>0\mbox{ o eventualmente } N(x)\geq 0

 

e

 

D(x)>0

 

Avremo così individuato gli intervalli su cui numeratore e denominatore sono rispettivamente positivi.

 

 

4) Studio del segno del rapporto \frac{N(x)}{D(x)}.

 

Ora viene il bello: per studiare il segno del rapporto ci serviremo di un apposita tabella dei segni, formata da tre righe orizzontali e parallele:

 

- la prima riga individuerà l'insieme dei numeri reali;

- la seconda riga individuerà gli intervalli su cui il numeratore è positivo, nullo o negativo;

- la terza riga individuerà gli intervalli su cui il denominatore è positivo, nullo o negativo.

 

Per non rendere troppo generale questa spiegazione, immaginiamo che le soluzioni della disequazione N(x)\geq 0 siano

 

N(x)\geq 0:\ \ \ x\leq 2  \ \vee  \ x\geq 3

 

e che le soluzioni di D(x) > 0 siano date da

 

D(x)>0:\ \ \ x > 5.

 

(Nota bene: queste soluzioni sono solo un esempio!) Ora rappresentiamo graficamente tali soluzioni in una tabella di questo tipo:

 

 

Confronto tra numeratore e denominatore nelle disequazioni fratte

 

 

Nella prima riga abbiamo scritto le soluzioni della disequazione N(x)≥0: abbiamo segnato gli intervalli su cui il numeratore è positivo con una linea piena e quelli su cui è negativo con una linea tratteggiata.

 

Dato che la disequazione per il segno del numeratore è N(x)≥0, dobbiamo includere gli estremi che annullano il numeratore. Per questo motivo, li indichiamo con dei pallini pieni.

 

Se invece la disequazione per il segno del numeratore fosse N(x)>0, dovremmo gli estremi che annullano il numeratore cone dei pallini vuoti.

 

Nella seconda riga della tabella abbiamo fatto lo stesso con il denominatore, indicando con un pallino vuoto il valore in cui si annulla, e che va scartato per non dividere per zero.

 

Infine nella terza ed ultima riga abbiamo confrontato i segni di numeratore e denominatore, facendo riferimento alla regola dei segni per il prodotto: segni concordi danno +, segni discordi danno -.

 

 

5) Ora sappiamo quali sono gli intervalli su cui N(x)/D(x) è positivo (segno +), negativo (segno -), nullo e quali valori vanno esclusi dalle soluzioni.

 

Quindi non ci resta che tornare alla disequazione fratta che abbiamo ricavato all'ultimo passaggio del punto 1) (cioè prima di aver iniziato lo studio del segno di numeratore e denominatore) e secondo la sua richiesta dare le soluzioni:

 

 

\frac{N(x)}{D(x)}>0 Le soluzioni sono gli intervalli con segno + escludendo tutti i punti dei pallini vuoti.
\frac{N(x)}{D(x)}\geq 0 Le soluzioni sono gli intervalli con segno + includendo i punti con pallini pieni ma escludendo quelli con pallini vuoti. Se qualche punto è coperto da un pallino pieno e da un pallino vuoto, dobbiamo escluderlo.
\frac{N(x)}{D(x)}<0 Le soluzioni sono gli intervalli con segno - escludendo tutti i punti dei pallini vuoti.
\frac{N(x)}{D(x)}\leq 0 Le soluzioni sono gli intervalli con segno - includendo i punti con pallini pieni ed escludendo quelli con pallini vuoti. Se qualche punto è coperto da un pallino pieno e da un pallino vuoto, dobbiamo escluderlo.

 

 

6) (Non ci riguarda) Chiaramente, se ci fossero condizioni di esistenza che derivano da termini non polinomiali, dovremmo tenerne conto quando leggiamo le soluzioni dalla tabella! Wink

 

 

In ogni caso ciò che ci interessa è la logica del metodo risolutivo per le disequazioni fratte: ridursi ad una disequazione con un unico rapporto, studiare separatamente i segni di numeratore e denominatore ed infine confrontarli in una tabella per ricavare le soluzioni della disequazione.

 

Esempi di disequazioni fratte

 

Cominciamo col considerare la seguente disequazione fratta:

 

\frac{2x+1}{x}>1

 

e applichiamo il procedimento che abbiamo descritto sopra.

 

1) Condizioni di esistenza:

 

x\neq 0

 

2) Portiamo la disequazione fratta alla forma N(x)/D(x)>0

 

\frac{2x+1}{x}-1>0

 

\frac{2x+1-x}{x}>0

 

\frac{x+1}{x}>0

 

3) Studiamo il segno del numeratore includendo il caso in cui si annulla. Siamo di fronte a due semplici disequazioni di primo grado:

 

N(x)> 0

 

x+1> 0

 

x> -1

 

Studiamo il denominatore ponendolo strettamente maggiore di zero, per escludere i valori in cui si annulla:

 

D(x)> 0

 

x>0

 

4) Disegnamo la tabella dei segni:

 

Tabella per una disequazione fratta

 

 

5) Guardiamo l'ultimo passaggio in cui abbiamo riscritto la disequazione fratta. Vogliamo determinare gli intervalli su cui

 

\frac{x+1}{x}>0

 

gli intervalli delle soluzioni sono quelli in cui c'è il segno + (infatti cerchiamo gli intervalli in cui la frazione è positiva), escludiamo i valori contrassegnati con pallini vuoti perché la richiesta nella disequazione è di trovare le soluzioni per cui la frazione è strettamente maggiore di zero, dunque non ci interessano i punti in cui il numeratore si annulla.

 

x<-1 \ \vee \ x>0

 

con la notazione degli intervalli:

 

x\in (-\infty,-1)\cup (0,+\infty)

 

In caso di dubbi date un'occhiata alla lezione introduttiva sulle disequazioni dove abbiamo spiegato e fatto svariati esempi su come rappresentare le soluzioni con gli intervalli Wink

 

 


 

 

Proviamo a risolvere ora la seguente disequazione fratta

 

\frac{2x^2-3x+1}{x^2-1}\leq 0

 

1) Condizioni di esistenza:

 

x^2-1\neq 0

 

x\neq\pm 1

2) La disequazione è già nella forma N(x)/D(x).

 

3) Studiamo il numeratore. Siamo di fronte ad una disequazione di secondo grado:

 

2x^2-3x+1\geq 0

 

risolviamo l'equazione di secondo grado associata:

 

2x^2-3x+1= 0

 

x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{9-8}}{4}

 

x_1=\frac{1}{2}\wedge x_2=1

 

Le soluzioni della disequazione

 

N(x)\geq 0

 

sono

 

x\leq\frac{1}{2} \ \vee \ x\geq 1

 

Studiamo il denominatore (ponendolo strettamente positivo)

 

x^2-1>0

 

x_{1,2}=\pm 1

 

le soluzioni sono

 

x<-1\ \vee \ x>1

 

4). Tracciamo la tabella dei segni:

 

 

Esempio di risoluzione di una disequazione fratta

 

 

Nota bene: osservate come il valore 1 fosse incluso nel numeratore, ma escluso nel denominatore. Quando consideriamo l'intera frazione dobbiamo ESCLUDERLO. Infatti, anche se il valore annulla il numeratore, non possiamo permettere che annulli il denominatore!

 

5) Vogliamo sapere su quali intervalli risulta

 

\frac{2x^2-3x+1}{x^2-1}\leq 0

 

cioè dove la frazione è minore o uguale a zero, ossia gli intervalli della tabella in cui compare il segno meno e i valori contrassegnati da pallini pieni:

 

-1<x\leq \frac{1}{2}

 

con la notazione degli intervalli si ha

 

x\in \left(-1,\frac{1}{2}\right]

 

 


 

Se dovesse esserci qualche dubbio, qualche problema o qualcosa di poco chiaro ricorda che puoi sempre contattarci e che abbiamo risolto moltissimi esercizi, che puoi reperire mediante la barra di ricerca. Wink

 

\alpha

 

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