Disequazioni di secondo grado

In questo articolo vedremo come ricavare le soluzioni nel caso delle disequazioni di secondo grado, mostrando il procedimento per la risoluzione e distinguendo tra i vari possibili casi.

 

Le disequazioni di secondo grado si presentano sotto questa forma:

 

ax^2+bx+c>0

 

a, b, c\in\mathbb{R} numeri reali e a\neq 0. Importante: il coefficiente del termine di grado massimo (si chiama coefficiente direttore) deve essere diverso da zero, altrimenti la disequazione non sarebbe più di secondo grado, ma diventerebbe una disequazione di primo grado.

 

Metodo di risoluzione delle disequazioni di secondo grado

 

Nella disequazione di secondo grado che abbiamo scritto sopra compare il simbolo >, ma i casi possibili sono

 

ax^2+bx+c>0
ax^2+bx+c\geq 0
ax^2+bx+c<0
ax^2+bx+c\leq 0

 

Vediamo come procedere.

 

1. Assicuratevi che il coefficiente direttore a sia positivo. Quindi se a è già positivo non dovete fare nulla, se fosse negativo cambiate i segni e ricordatevi di cambiare il verso della disequazione.

 

2. Risolvete l'equazione di secondo grado associata:

 

ax^2+bx+c=0

 

Sappiamo che le soluzioni di un'equazione di secondo grado sono date da

 

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

 

3. Una volta ottenute le soluzioni (vi ricordiamo che le soluzioni di un'equazioni di secondo grado possono essere: due soluzioni distinte, due soluzioni coincidenti, ed è anche possibile che non esistano soluzioni), potete risolvere con un metodo standard la disequazione di secondo grado da cui siamo partiti.

 

Avendo a positivo ricaviamo le soluzioni della disequazione come indicato nella seguente tabella.

 

 

Soluzioni dell'equazione associata

Verso della disequazione

Soluzione

Due soluzioni reali e distinte:

x_1\neq x_2
e supponiamo
x_1< x_2

 

ax^2+bx+c \textgreater 0

 


 

ax^2+bx+c \geq 0

 


 

ax^2+bx+c \textless 0

 


 

ax^2+bx+c \leq 0

 

x \textless x_1 \ \vee \ x \textgreater x_2

 


 

x \leq x_1 \ \vee \ x \geq x_2

 


 

x_1 \textless x \textless x_2

 


 

x_1 \leq x \leq x_2

Due soluzioni reali e coincidenti

x_1=x_2

 

ax^2+bx+c \textgreater 0

 


 

ax^2+bx+c \geq 0

 


 

ax^2+bx+c \textless 0

 


 

ax^2+bx+c \leq 0

 

\forall x \in \mathbb{R}, \ x \neq x_1

 


 

\forall x \in \mathbb{R}

 


 

\mbox{impossibile}

 


 

\mbox{unica soluzione:} \ x=x_1

L'equazione associata non

ammette soluzioni reali

\Delta<0

 

ax^2+bx+c \textgreater 0

 


 

ax^2+bx+c\geq 0

 


 

ax^2+bx+c \textless 0

 


 

ax^2+bx+c \leq 0

 

\forall x \in \mathbb{R}

 


 

\forall x \in \mathbb{R}

 


 

\mbox{non ammette soluzioni}

 


 

\mbox{non ammette soluzioni}

 

 

E se a fosse negativo? Non vogliamo certo imparare a memoria un'altra tabella! Semplicemente cambiamo i segni alla disequazione in modo da avere a positivo, ricordandoci di cambiarne anche il verso!

 

Esempio di disequazione di secondo grado

 

Data la disequazione

 

-3x^2+5x-2\geq 0

 

che ha coefficiente direttore a negativo è sufficiente riscriverla come

 

3x^2-5x+2\leq 0

 

A questo punto otteniamo le soluzioni grazie alla tabella precedente! Risolviamo l'equazione associata:

 

3x^2-5x+2= 0

 

\Delta=25-24=1

 

x_{1,2}=\frac{5\pm 1}{6}

 

Siamo nel caso in cui l'equazione associata ha due soluzioni distinte date da

 

x_1=\frac{2}{3}\mbox{ e }x_2=1

 

La disequazione cui dobbiamo fare riferimento è quella a cui abbiamo cambiato i segni:

 

3x^2-5x+2\leq 0

 

Dunque, secondo la nostra tabella le soluzioni sono date dai valori compresi tra le due soluzioni:

 

\frac{2}{3}\leq x\leq 1

 

Nota bene: non vuoi imparare a memoria neanche la tabella riportata sopra? Benissimo! Leggi il paragrafo successivo e non ne avrai bisogno!

 

Metodo della parabola per le disequazioni di secondo grado

 

Sul piano cartesiano il grafico della funzione

 

y=ax^2+bx+c

 

con a, b, c\in\mathbb{R} e a\neq 0 è una parabola, cioè il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fuoco e una retta detta direttrice:

 

Risoluzione delle disequazioni di secondo grado con il metodo della parabola

 

Non abbiamo bisogno di sapere precisamente come disegnare una parabola, ci basterà fissare le idee con le figure seguenti:

 

1a. Se a>0 la parabola ha concavità verso l'alto e se il delta dell'equazione ax2+bx+c=0 è positivo, allora la parabola ha due intersezioni distinte con l'asse x (che sono le soluzioni dell'equazione ax2+bx+c=0).

 

Rappresentare una parabola per risolvere le disequazioni di secondo grado

 

Come vedete in figura la parabola è maggiore di zero (cioè sta sopra l'asse x) per valori esterni alle due soluzioni distinte, ed è minore di zero per valori interni.

 


 

1b. Se a>0 e il discriminante è uguale a zero la parabola è tangente all'asse delle x in un solo punto

 

Caso delta nullo per la risoluzione delle disequazioni di secondo grado con il metodo della parabola

 

Dunque sarà maggiore di zero per ogni valore reale tranne nel punto di tangenza dove vale proprio zero.

 


 

1c. Se a>0 e il discriminante è negativo allora la parabola non interseca l'asse delle x

 

Caso delta negativo per la risoluzione delle disequazioni di secondo grado con il metodo della parabola

 

Quindi è sempre strettamente positiva.

 


 

2a. Se a<0 la parabola ha concavità verso il basso e se il discriminante dell'equazione associata è maggiore di zero, graficamente avremo

 

Caso delta positivo nel metodo della parabola per le disequazioni di secondo grado

 

Dunque la parabola, questa volta, è positiva per valori compresi tra i due punti di intersezione, mentre è negativa per valori esterni.

 


 

2b. Se il discriminante è zero si ha

 

Caso delta uguale a zero per le disequazioni di secondo grado

 

Dunque la parabola è sempre negativa, tranne nel punto di tangenza (cioè la soluzione dell'equazione ax2+bx+c=0 ), dove vale proprio zero.

 


 

 

2c. Se il discriminante dell'equazione associata è negativo e a<0 graficamente avremo

 

Caso di delta negativo nelle disequazioni di secondo grado

 

Quindi la parabola è negativa (sta sotto l'asse delle ascisse), per ogni x.

 

Confrontando questi grafici con i risultati algebrici riportati nella tabella che trovate nella prima parte dell'articolo vi renderete conto che vi danno esattamente le stesse informazioni, senza dover ricordare nulla a memoria. Dovrete ricordare solamente che ogni equazione di secondo grado ha come rappresentazione grafica una parabola la cui concavità è determinata dal coefficiente direttore, mentre le sue intersezioni con gli assi sono stabilite dal segno (positivo, negativo o nullo) del discriminante!




 

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\alpha

 

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