Disequazioni di primo grado

Le disequazioni di primo grado, o disequazioni lineari, sono disequazioni in cui l'incognita appare solo elevata a potenza 1, in sostanza compare senza esponente.

 

Quando abbiamo a che fare con una disequazione lineare, effettuando opportuni passaggi algebrici, riusciamo sempre a ricondurci ad uno dei seguenti casi

 

Espressione

ax>b

ax\geq b

ax<b

ax\leq b

 

Risoluzione delle disequazioni di primo grado

 

Grazie alle regole che abbiamo introdotto nell'articolo introduttivo sulle disequazioni sappiamo che tutto sommato non si comportano molto diversamente dalle equazioni. Le regole da rispettare sono:


1) Si può sommarre o sottrarre una stessa quantità a entrambi i membri della disequazione senza alterarne il risultato.


2) Si può moltiplicare o dividere per una quantità positiva (purché diversa da zero) entrambi i membri della disequazione. Se moltiplichiamo o dividiamo per una quantità negativa dobbiamo cambiare il verso della disequazione.

 

Alla luce di queste regole possiamo scrivere la soluzione generale per le possibili disequazioni lineari elencate all'inizio:

 

Espressione Soluzione
ax>b

x>\frac{b}{a} se il coefficiente a è positivo

 


 

x<\frac{b}{a} se il coefficiente a è negativo

ax\geq b

x\geq\frac{b}{a} se il coefficiente a è positivo

 


 

x\leq\frac{b}{a} se il coefficiente a è negativo

ax<b

x<\frac{b}{a} se il coefficiente a è positivo

 


 

x>\frac{b}{a} se il coefficiente a è negativo

ax\leq b

x\leq\frac{b}{a} se il coefficiente a è positivo

 


 

x\geq\frac{b}{a} se il coefficiente a è negativo

 

Esempi sulle disequazioni di primo grado


1) Cerchiamo le soluzioni della disequazione di primo grado: 2x+3<0.

 

Svolgimento: sottraiamo 3 ad entrambi i membri della disequazione

 

2x+3-3<0-3

 

A sinistra del simbolo di disequazione il termine di grado zero si elimina, e lo ritroviamo a destra: l'effetto dell'operazione è stato proprio quello di spostare il termine 3 da sinistra a destra

 

2x<-3

 

Ora dividiamo entrambi i membri per il coefficiente del termine di grado uno

 

\frac{2x}{2}<-\frac{3}{2}

 

nell'ultimo passaggio non è stato necessario cambiare il verso della disequazione poiché abbiamo diviso per 2 che è un numero positivo!

 

x<-\frac{3}{2}

 

Abbiamo finito! Volendo possiamo scrivere la soluzione sotto forma di intervallo (se hai dubbi vedi la lezione precedente):

 

\mbox{S}=\left(-\infty, - \frac{3}{2}\right)

 

 

2) Proviamo ora a risolvere un'altra disequazione di primo grado -2x+3<0.

 

Svolgimento: procediamo in modo analogo a quello del primo esempio

 

-2x+3-3<0-3

 

-2x<-3

 

Cambiamo i segni moltiplicando a destra e a sinistra per -1, moltiplicando per un numero negativo dovremo anche cambiare il verso della disuguaglianza

 

(-1)(-2x)>(-1)(-3)

 

2x>3

 

x>\frac{3}{2}.

 

Con gli intervalli: \mbox{S}=\left(\frac{3}{2}, +\infty \right)

 

 

3) Infine risolviamo la disequazione lineare: \frac{x+3}{3}\leq 5

 

Svolgimento: innanzitutto moltiplichiamo ambo i membri della disequazione per 3. In questo modo sparirà il denominatore. Essendo inoltre 3 un numero positivo il verso della disequazione rimarrà invariato.

 

3 \cdot \frac{x+3}{3} \leq 5 \cdot 3 \ \to \ x+3 \le 15

 

A questo punto portiamo il numero 3 a secondo membro, ricordandoci di cambiarlo di segno. Questo, come abbiamo già detto, equivale a sottrare 3 da entrambi i membri ;)

 

x \leq 15-3

 

e ci siamo!

 

x\leq 12

 

è l'insieme delle soluzioni della nostra disequazione.

 

Notate che questa volta l'intervallo comprende l'estremo destro, cioè è comprende il valore 12, ovvero, volendo utilizzare la notazione con gli intervalli:

 

S=(-\infty, 12]

 

 


 

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\alpha

 

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