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Cosa sono le disequazioni?

Abbiamo abbastanza confidenza con le equazioni, quindi partiamo da lì: risolvere un'equazione del tipo A=B significa rispondere alla domanda: A è identico a B?

 

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Ad esempio risolvere x+1=2 significa trovare una risposta alla domanda: quanto deve valere x perché x+1 sia uguale 2 ? Sappiamo che la risposta è: x deve valere 1.

 

Cosa sono le disequazioni?

 

Nel caso delle disequazioni la domanda che ci viene posta è un po' più complessa: vogliamo trovare un modo per confrontare A e B. In sostanza vogliamo sapere se A è maggiore di B, se A è minore di B e se e quando sono uguali.

 

Introduciamo i simboli necessari per scrivere le disequazioni:

 

Simbolo Significato
> Maggiore
\geq Maggiore o uguale
< Minore
\leq Minore o uguale

 

Continuiamo nel paragone tra equazioni e disequazioni. Per risolvere le equazioni avevamo due regole fondamentali: è possibile sommare lo stesso valore a destra e a sinistra dell'uguale senza alterare il risultato dell'equazione; è possibile moltiplicare o dividere a destra e a sinistra dell'uguale per uno stesso valore senza alterare il risultato dell'equazione. Cosa succede per le disequazioni?

 

Regole di base per la risoluzione delle disequazioni

 

1. È possibile sommare o sottrarre lo stesso valore sia al termine a sinistra che a destra della disequazione senza alterarne il risultato:

 

se A<B allora anche A+1<B+1

 

2. È possibile moltiplicare o dividere entrambi i membri della disequazione se il valore per cui si moltiplica/divide è POSITIVO; se moltiplichiamo o dividiamo per un valore negativo dobbiamo CAMBIARE IL VERSO della disequazione.


Se A<B e m>0 allora m·A<m·B

 

Se A<B e m<0 allora m·A>m·B


Per capire...

 

Perché dobbiamo cambiare il verso della disequazione quando moltiplichiamo per un numero negativo? Esaminiamo un caso particolare.

 

Consideriamo la disequazione x>2 e moltiplichiamo entrambi i membri per -1. La seconda regola ci dice che dobbiamo cambiare il segno della disequazione, quindi otteniamo

 

(-1)x>(-1)2

 

-x<-2

 

Possiamo ottenere lo stesso effetto della moltiplicazione per -1 usando la prima regola, guardate:

 

x>2

 

x-x>2-x

 

0>2-x

 

-2>-x

 

Leggiamo la disequazione da destra a sinistra:

 

-x<-2

 

Ovvero proprio la disequazione di partenza con i segni cambiati. Per chi vuole approfondire, questa differenza tra equazioni e disequazioni nasce dal fatto che l'uguaglianza (equazioni) è una relazione d'equivalenza, cioè è riflessiva simmetrica e transitiva, mentre > (disequazioni) è una relazione d'ordine che non è simmetrica né riflessiva.

Definizione di disequazione

 

Si dice disequazione una disuguaglianza del tipo

 

f(x)\gtreqless g(x)

 

dove f(x) e g(x) sono espressioni contenenti x.

Esempi di disequazioni e di disuguaglianze

 

Vediamo qualche esempio di disuguaglianza:

 

3<4

 

Questa disuguaglianza è sempre vera!

 

3>4

 

La disuguaglianza non è mai verificata!

 

Ora passiamo agli esempi sulle disequazioni:

 

x<1

 

La disuguaglianza è verificata per ogni x appartenente all'intervallo (-∞, 1).

 

x\leq 1

 

La disuguaglianza è verificata per ogni x appartenente all'intervallo (-∞, 1].

 

Da questi esempi vedete come le soluzioni di una disequazione sono rappresentate da intervalli e non da singoli valori come nel caso delle equazioni.

 

Elenchiamo qui sotto tutti gli articoli a proposito dei metodi risolutivi di disequazioni particolari: se volete vedere i metodi specifici per le varie tipologie di disequazioni, li trovate tutti nella categoria di lezioni del link

 

1. Disequazioni lineari 2. Disequazioni di secondo grado
3. Disequazioni di grado superiore al secondo 4. Sistemi di disequazioni
5. Disequazioni irrazionali 6. Disequazioni fratte
7. Disequazioni logaritmiche 8. Disequazioni esponenziali

9. Disequazioni trigonometriche

 

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Lezione successiva

 

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