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Cosa sono le disequazioni?

Abbiamo abbastanza confidenza con le equazioni, quindi partiamo da lì: risolvere un'equazione del tipo A=B significa rispondere alla domanda: A è identico a B?

 

Ad esempio risolvere x+1=2 significa trovare una risposta alla domanda: quanto deve valere x perché x+1 sia uguale 2 ? Sappiamo che la risposta è: x deve valere 1.

 

Cosa sono le disequazioni?

 

Nel caso delle disequazioni la domanda che ci viene posta è un po' più complessa: vogliamo trovare un modo per confrontare A e B. In sostanza vogliamo sapere se A è maggiore di B, se A è minore di B e se e quando sono uguali.

 

Introduciamo i simboli necessari per scrivere le disequazioni:

 

Simbolo Significato
> Maggiore
\geq Maggiore o uguale
< Minore
\leq Minore o uguale

 

Continuiamo nel paragone tra equazioni e disequazioni. Per risolvere le equazioni avevamo due regole fondamentali: è possibile sommare lo stesso valore a destra e a sinistra dell'uguale senza alterare il risultato dell'equazione; è possibile moltiplicare o dividere a destra e a sinistra dell'uguale per uno stesso valore senza alterare il risultato dell'equazione. Cosa succede per le disequazioni?

 

Regole di base per la risoluzione delle disequazioni

 

1. È possibile sommare o sottrarre lo stesso valore sia al termine a sinistra che a destra della disequazione senza alterarne il risultato.

 

Ad esempio è vero che 5 \textgreater 3 ed è anche vero che:

 

\bullet \ \underbrace{5{\color{red}+2}}_{7} \textgreater \underbrace{3{\color{red}+2}}_{5} (abbiamo sommato una stessa quantità sia a destra che a sinistra).

 

\bullet \ \underbrace{5{\color{red}-1}}_{4} \textgreater \underbrace{3{\color{red}-1}}_{2} (si è sottratto uno stesso numero sia a destra che a sinistra).

 

 

2. È possibile moltiplicare o dividere entrambi i membri della disequazione per uno stesso numero diverso da zero ricordando però che:

 

- se il valore per cui si moltiplica/divide è positivo il verso rimane inalterato;

 

- se moltiplichiamo o dividiamo per un valore negativo dobbiamo CAMBIARE IL VERSO della disequazione.

 

Ad esempio sappiamo che 10 \textless 20 ed è pure vero che:

 

\bullet \ \underbrace{10{\color{red}\cdot 3}}_{30} \textless \underbrace{20{\color{red}\cdot 3}}_{60} (si è moltiplicato per uno stesso numero positivo).

 

\bullet \ \underbrace{10{\color{red}: 5}}_{2} \textless \underbrace{20{\color{red}:5}}_{4} (le due quantità a destra e sinistra sono state divise per uno stesso numero positivo).

 

\bullet \ \underbrace{10{\color{red}\cdot (-3)}}_{-30} {\color{blue}\textgreater} \underbrace{20{\color{red}\cdot (-3)}}_{-60} (è cambiato il verso in quanto abbiamo moltiplicato per un numero negativo).

 

\bullet \ \underbrace{10{\color{red}: (-5)}}_{-2} {\color{blue}\textgreater} \underbrace{20{\color{red}: (-5)}}_{-4} (avendo diviso per un numero negativo il verso è variato).

 

Definizione di disequazione

 

Si dice disequazione una disuguaglianza del tipo

 

f(x)\gtreqless g(x)

 

dove f(x) e g(x) sono espressioni contenenti x.

 

In parole povere una disequazione è una diseguaglianza in cui figurano una o più lettere dette incognite (approfondiremo questo discorso nel corso delle lezioni successive).

Esempi di disequazioni

 

x \textless 1, \ 3x^2+2x+1 \ge 3, \ \frac{1}{2x}+3x-2 \le 0

 

Sono tutte disequazioni nell'incognita x. In particolare, se la x compare a denominatore avremo a che fare con una disequazione fratta, altrimenti la nostra disequazione si dirà intera.

 

Soluzioni di una disequazione

 

Diremo che un numero è soluzione della nostra disequazione se una volta sostituito il suo valore al posto dell'incognita otterremo una diseguaglianza vera.

 

Ad esempio x=3 è soluzione della disequazione x^2-1 \textgreater 0, infatti se sostituiamo 3 al posto della x avremo: (3)^2-1=2 che è un numero maggiore di zero. Al contrario (ad esempio) x=0 non è soluzione in quanto (0)^2-1=0-1=-1 che è un numero negativo.

 

Risolvere una disequazione vuol dire trovare tutti i valori dell'incognita che verificano la disuguaglianza e, contrariamente a quanto avviene nel caso delle equazioni, generalmente una disequazione ha infinite soluzioni, si parla cioè di insieme delle soluzioni di una disequazione e si indica, generalemente, con la lettera \mbox{S}.

 

Per rappresentarlo è molto utile il concetto di intervallo, nozione che però viene introdotta rigorosamente solo nell'ultimo anno delle Scuole Superiori.

 

Come rappresentare l'insieme delle soluzioni di una disequazione con gli intervalli

 

Rappresentare le soluzioni di una disequazione con gli intervalli è più facile di quanto si possa pensare. Basta infatti:

 

- disegnare una semiretta sulla quale riporteremo all'estrema sinistra -\infty ed all'estrema destra +\infty ed i valori numerici che son venuti fuori in ordine crescente;

 

- tracceremo su un nuovo rigo delle linee continue che simboleggiano la nostra situazione e scriveremo il tutto sotto forma di intervallo leggendo il disegno da sinistra verso destra.

 

Poco chiaro vero? No problem! I seguenti esempi chiariranno tutto ;)

 

\bullet \ x \textgreater 2

 

è ovviamente soddisfatta dall'insieme di tutti i numeri maggiori di 2. Come si scrive sotto forma di intervallo?

 

Facciamoci il disegnino (il pallino vuoto indica che il 2 non deve essere incluso in quanto come segno della disuguaglianza abbiamo un >):

 

Rappresentazione grafica di una disequazione

 

Dobbiamo riportare quanto indicato dalla linea rossa. Partendo da sinistra, vediamo che la linea rossa parte da 2 (che è escluso) e si dirige verso +\infty. Scriveremo allora:

 

\mbox{S}=(2,+\infty)

 

dove, le due parentesi tonde, stanno ad indicare che entrambi i valori sono esclusi.

 


 

\bullet \ x\le 3

 

La precedente disequazione individua l'insieme dei numeri reali minori di 3. La rappresentazione grafica sarà quindi la seguente (questa volta useremo un pallino pieno per indicare la presenza dell'uguale, ovvero che anche il 3 è soluzione della nostra disequazione):

 

Come rappresentare una disequazione sulla retta orientata

 

In questo caso, quindi, l'intervallo che rappresenta la famiglia delle soluzioni sarà:

 

\mbox{S}=(-\infty,3]

 

Ricordate infatti che dobbiamo partire da sinistra, quindi il primo valore che si incontra è -\infty e procedere verso destra, dove la linea rossa si ferma in corrispondenza del valore 3 (che è incluso) e quindi lo segneremo con una parentesi quadra.

 


 

\bullet \ -2 \le x \textless 5

 

Vi troverete spesso in questo genere di situazione quando avrete a che fare con le disequazioni di secondo grado.

 

Dobbiamo rappresentare l'insieme dei numeri compresi tra -2 (incluso) e 5 (escluso), ovvero:

 

Soluzione di una disequazione con gli intervalli

 

In questo caso la linea rossa parte da -2 (incluso) ed arriva a 5 (escluso):

 

\mbox{S}=[-2,5)

 


 

Se volete vedere i metodi specifici per le varie tipologie di disequazioni, li trovate tutti nella categoria di lezioni del link.

 

Dubbi o problemi? Cerchi esercizi svolti? Ne abbiamo migliaia e migliaia, puoi trovare tutto quello che ti serve con la barra di ricerca di YM...ed eventualmente potrai sempre contattarci! Wink

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe carichino (Galois)

 

 

Lezione successiva

 

Utile?  

 


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