Esercizio di meccanica newtoniana: cilindro che rotola su piano scabro

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Esercizio di meccanica newtoniana: cilindro che rotola su piano scabro 10/01/2017 16:59 #92979

  • Dr. Kyra
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Non riesco a risolvere questo esercizio di meccanica newtoniana, spero mi possiate aiutare.

Un cilindro di massa M=10\ kg e raggio R=0,1\ m è appoggiato su un piano orizzontale sul quale ruota senza slittare (è presente attrito statico sufficiente). Una molla di costante elastica k=1000\ \frac{N}{m} e lunghezza a riposo nulla, collega un punto fisso del piano A all'asse del cilindro. Inizialmente il cilindro è fermo e la distanza del punto di appoggio C da A è d=0,6\ m. Al tempo t=0 il cilindro è lasciato libero di muoversi. Trovare l'equazione di moto.

Ora, noi per trovare le equazioni di moto in casi come questo passiamo sempre da due strade: o con i momenti (utilizzando la II equazione cardinale della dinamica per corpi rigidi in rotazione) o con la conservazione dell'energia (l'energia meccanica totale iniziale E_i è uguale a quella meccanica totale E(x) in un altro punto generico.

Quest'ultima la esprimiamo in funzione di una quantità, una lunghezza per esempio, e derivando rispetto a tale quantità possiamo ricavare l'equazione di moto).

A me non torna, né utilizzando i momenti né il teorema dell'energia cinetica per il lavoro della forza di attrito.

Vi mostro i miei due tentativi.

Con i momenti: dato che il cilindro ruota, istante per istante, attorno al punto di contatto C, li metteremo il polo \omega. Quindi, dato che la forza di attrito e la forza peso hanno le rispettive rette d’azione che passano per il polo, l'unica forza che compierà momento sarà quella elastica, per cui:

kxR\sin(\beta)=I\alpha=\frac{I}{R}\ddot{x}

dove R\sin(\beta) è il braccio per la forza elastica (detto \beta l'angolo che la molla forma con la verticale passante per il centro del cilindro). Arrivato qui non so come trattare x\mbox{ e }β, tutti e due possono darmi unequazione di moto, come posso esprimere l'uno in funzione dell'altro?

Con l'energia cinetica: qui non so nemmeno se l'ho impostata bene, ma non credo. All'inizio la molla sarà tirata di una quantità x_0 (che volendo possiamo anche trovare). Si ha che il lavoro della forza di attrito è uguale alla differenza di energia meccanica fra l'istante generico (dopo un allungamento x quindi) e quella iniziale:

F_{as}=E(x)âE(i)=\frac{I\omega^2+mv^2+k(x+x_0)^2}{2}-\frac{kx_0^2}{2}

Ma anche qui, trovando la forza di attrito con la normale al suolo, mi torna fuori l'angolo \beta. Inoltre, derivando la precedente equazione rispetto ad x generico, cosa succede allo spostamento s? Anche quello dovrebbe cambiare in funzione di x, però non saprei come.

Spero di essere stato il più chiaro possibile, non è semplice da descrivere al pc questo esercizio. Grazie mille in anticipo!
 
 

Re: Esercizio di meccanica newtoniana: cilindro che rotola su piano scabro 10/01/2017 19:07 #92990

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La via più rapida è utilizzare la conservazione dell'energia.
L'energia potenziale elastica iniziale vale:
Ui = (1/2)k(d² + R²)
quella corrispondente alla generica ascissa "x" del centro di massa (e quindi del punto di contatto) è:
U = (1/2)k(x²+ R²)
mentre l'energia cinetica del cilindro che rotola senza strisciare è:
Ek = (1/2)(3/2)MR²ω²
Quindi da
Ui = U + Ek
tenendo conto che Rω = vc = x'
si perviene ad una equazione differenziale nella incognita x(t).
Lascio a te il completamento dei calcoli.
Ringraziano: Omega, CarFaby, Dr. Kyra

Re: Esercizio di meccanica newtoniana: cilindro che rotola su piano scabro 10/01/2017 19:18 #92992

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Grazie per aver risposto! Comunque sono poco convinto, l'attrito non deve essere considerato per l'energia ? Cioè, questa non dovrebbe conservarsi in questo caso, ma dovrebbe appunto seguire il Teorema dell'energia cinetica, no ?

Re: Esercizio di meccanica newtoniana: cilindro che rotola su piano scabro 11/01/2017 09:18 #92999

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In assenza di strisciamento l'attrito non compie lavoro in quanto è applicato sulla generatrice di contatto fra cilindro e piano che è l' asse istantaneo di rotazione del cilindro.
Pensaci.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby, Dr. Kyra

Re: Esercizio di meccanica newtoniana: cilindro che rotola su piano scabro 11/01/2017 11:39 #93002

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Hai ragione, istante per istante il punto di contatto non si muove poiché la rotazione avviene attorno ad esso. E quindi la forza di attrito in quel punto non compie lavoro. È vero, hai ragione, grazie mille Luigi76!!
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