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Densità volumetrica e superficiale di carica
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Ripetizioni di Matematica online

Densità volumetrica e superficiale di carica

Densità volumetrica e superficiale di carica 10/10/2012 11:59 #35054

  • realex
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Mi potete aiutare con questo esercizio sulla densità volumetrica e superficiale di carica?

DSC00303.JPG


Con riferimento alla figura sia ε la costante dielettrica del materiale dielettrico che riempie la regione di spazio tra r=a ed r=b. all’interno del dielettrico il campo elettrico,radiale,ha modulo costante E0. per r<a ed r>b,il campo è nullo.

Calcolare nel sistema c.g.s:

a) la densità volumetrica della carica libera in ogni punto dello spazio;

b)la densità superficiale di carica libera σ sulle due superfici r=a ed r=b;

c)la carica Q totale presente nel sistema;

d)l’energia di interazione elettrostatica;

e) la densità volumetrica della carica legata;

f) la densità superficiale della carica legata.

grazie mille..

 

ly

 

Densità volumetrica e superficiale di carica 10/10/2012 16:36 #35108

  • Luigi76
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Ci sono alcune cose che non capisco, nel senso che è la prima volta, in oltre 50 anni, che leggo il termine "carica legata".
Inoltre quale dei sistemi CGS si deve utilizzare?
Per non fare confusione utilizzerò il S.I. e, eventualmente, si convertiranno i risultati nel sistema CGS.
Il punto centrale è: la legge con cui varia il campo.
Detto O il centro delle due sfere, e r^ = OP = x i + y j + z k
E(P) = Eo r^/|r| per a < |r| < b
quindi le componenti cartesiane del vettore D = ε E , dove ε è la costante dielettrica assoluta del materiale, sono:
Dx = εEo x/r ; Dy = εEo y/r ; Dz = εEo z/r
Quindi, per r < a, e per r > b, il vettore D = 0 e anche
ρ = divD = 0
mentre per a < r < b
ρ = divD = 2 εEo/r
Infatti, omettendo, per semplicità il fattore costante εEo, calcola la divergenza di OP/r.
Si ha
div(OP/r) = ð(x/r)/ðx + ð(y/r)/ðy + ð(y/r)/ðz
ma
ð(x/r)/ðx = 1/r + x ð(1/r)/ðx = 1/r - (x/r²)ðr/ðx
ricordando che
r = radice(x² + y² + z²)
ðr/ðx = (1/2r)*2x = x/r
quindi
ð(x/r)/ðx = 1/r - x²/r³
ed infine
div(OP/r) = 1/r - x²/r³ + 1/r - y²/r³ + 1/r - z²/r³ = 3/r - 1/r = 2/r
Pertanto la densità delle cariche libere è nulla per r < a e per r > b e
nell'intervallo (a,b) vale
ρ = divD = 2 εEo/r
come riportato.
Sempre avendo ben presente le proprietà del vettore D, la densità della cariche superficiali è:
σ(a) = + D(a) = ε Eo
mentre
σ(b) = - D(b) = -ε Eo

La carica totale del sistema è Q = 0. Infatti
Qsup = εEo*4π(a² - b²)
Qvol = integrale(ρ dV) = integrale{(2εEo/r)*4πr² dr} fra r = a e r = b
Eseguito il calcolo si ottiene:
Qvol = εEo*4π(b² - a²)
ed infine
Qtot = Qsup + Qvol = 0

La densità di energia elettrostatica è:
Uel = (1/2)εEo² costante nello regione compresa fra r = a e r = b. Quindi
per avere l'energia immagazzinata in tale regione, che è anche l'energia totale, basta moltiplicare Uel per il volume della regione (ovvero pre la differenza fra i volumi delle due sfere concentriche).
Ringraziano per il messaggio: Omega, Pi Greco, matteo

 

Utile?...

 

Densità volumetrica e superficiale di carica 10/10/2012 18:44 #35144

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per carica legata si intende cariche di polarizzazione per distinguerle da quelle libere presenti nei conduttori....

inoltre volevo chiederti se e possibile scrivere meglio le formule che non riesco a capire..

 

Re: Densità volumetrica e superficiale di carica 11/10/2012 10:42 #35196

  • Luigi76
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Purtroppo è l'inadeguatezza della tastiera e la mia incapacità di usare Latex, che mi impedisce di scrivere le formule con i simboli tradizionali.
Se mi dici quali sono i tuoi dubbi cercherò di essere più chiaro.
Ringraziano per il messaggio: Omega, Pi Greco, realex

Re: Densità volumetrica e superficiale di carica 11/10/2012 11:49 #35199

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al momento non comprendo la scrittura... cercherò di capire..

Re: Densità volumetrica e superficiale di carica 12/10/2012 10:22 #35269

  • realex
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qual'è il punto centrale la legge con cui varia il campo.
me lo potresti spiegare meglio che cosi si intende???
grazie.

Re: Densità volumetrica e superficiale di carica 12/10/2012 10:51 #35271

  • Luigi76
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Il problema dice che il campo è radiale, diverso da 0 per a < r < b, dove ha modulo costante Eo, nullo fuori di tale intervallo.
Quindi, per ottenere il vettore E devi moltiplicare il suo modulo Eo per il versore û del raggio OP.
û = OP/|OP| = (x i + y j + z k)/r
dove
r = |OP| = radice(x² + y² + z²)
Pertanto il vettore
E(P) = Eo (x i + y j + z k)/r
e le sue componenti cartesiane (ti servono per calcolare la divergenza) sono
Ex(P)= Eo x/r ; Ey(P) = Eo y/r ; Ez(P) = Eo z/r

Ho lasciato "r" a denominatore per semplicità di scrittura, ma terrò conto della sua espressione quando calcolerò la divergenza.

Se hai ancora difficoltà, scrivilo.
Ringraziano per il messaggio: Omega, Pi Greco

Re: Densità volumetrica e superficiale di carica 12/10/2012 16:11 #35285

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mi potresti dare delle spiegazioni teoriche... anche sugli altri punti del problema...
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