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Dominio della tangente

Dominio della tangente 06/10/2012 13:15 #34607

  • Antonio56
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Buongiorno a voi tutti e grazie per le risposte ricevute, vorrei che mi aiutaste con il dominio della funzione tangente, e a capire un ragionamento da voi fatto nell'argomento in oggetto.

Nello studiare il dominio delle funzioni avete ad un certo punto affermato: consideriamo la funzione y= \tan(x) la tangente per definizione è data da

\tan (x) =\frac{\sin{(x)}}{\cos(x)}

Non potendo dividere per zero dobbiamo richiedere

\cos{(x)}\neq 0

condizione che si traduce in

x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi

con k numero intero di segno qualsiasi. Ecco, non capisco perché aggiungete quel k pi greco; non si dovrebbe dire : x >= pi greco/ 2 ?

Grazie

 

 

Dominio della tangente 06/10/2012 14:15 #34623

  • Omega
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Ciao Antonio56

Attenzione: se decidi di usare i bottoncini della barra dei comandi, nello scrivere le formule, devi includere l'output tra i tags "TeX".

Per il resto, la lezione di riferimento è quella sulle regole per determinare il dominio. Il tuo dubbio specifico trova risposta nella periodicità delle funzioni trigonometriche, in particolare nel fatto che il coseno è una funzione periodica di periodo 2\pi.

Il coseno ha due zeri nell'intervallo [0,2\pi), dati da x=\frac{\pi}{2},x=\frac{3\pi}{2}.

Tutti e soli gli zeri del coseno, sull'asse reale, li trovi per periodicità e sono dunque dati da

x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\mbox{, }x=\frac{3}{2}\pi+2k\pi

o, in forma più sintetica

x=\frac{\pi}{2}+k\pi

dove k\in\mathbb{Z}. :)
Ringraziano: Pi Greco, Danni

Dominio della tangente 06/10/2012 15:57 #34646

  • Danni
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Ciao Antonio

Innanzitutto, perché maggiore o uguale?
Maggiore no, perché stiamo studiando il campo di esistenza della funzione, non il suo segno.

Uguale nonono, per carità
Se mettiamo un uguale ci freghiamo in partenza: il valore di x che annulla il denominatore deve essere scartato (diverso da) non accettato (uguale a).

Sappiamo che il coseno di un arco è nullo quando l'arco vale

\frac{\pi}{2}\vee \frac{3}{2}\pi

Le funzioni goniometriche sono periodiche, ovvero si ripetono a periodi regolari. Il periodo che va da π/2 a 3π/2 è un arco piatto, ovvero π.

Poiché la faccenda si ripete all'infinito, ovvero k volte, il periodo sarà moltiplicato per k e diremo che la funzione esiste per

x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi

Quindi:

D_f = \;\in x\;\mathbb{R} - \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi\right\}

Se hai dubbi sono qui, ciao.

Ringraziano: Omega, Pi Greco, Antonio56

Re: Dominio della tangente 07/10/2012 19:49 #34757

  • Antonio56
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Omega: ringrazio per la risposta ma non ho capito! Perdonate la mia ignoranza ma avrei bisogno di una ulteriore spiegazione. Ciò che non capisco è il fatto che:
Il coseno ha due zeri nell'intervallo [0,2\pi), dati da x=\frac{\pi}{2},x=\frac{3\pi}{2} ciò detto tutti e soli gli zeri del coseno, sull'asse reale, dovrebbero essere dunque dati da questi due valori; ovvero dal valore degli zeri sull'asse reale.

Grazie per l'eventuale risposta. Antonio :-?

Re: Dominio della tangente 07/10/2012 20:59 #34762

  • Danni
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Ciao Antonio

Sarei d'accordo con te se si dovesse studiare la funzione tra 0 e 2pi, ma così non è.
Tu hai in mente solo un giro completo della circonferenza goniometrica ma il grafico della funzione tangente ha un periodo ben preciso: dopo 3pi/2 trovi un altro pi/2 a cui segue un altro 3pi/2 e così via.

Sono sicuro che, se guarderai il grafico della tangente, tutto sarà immediatamente chiaro.

tan.png.png
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Antonio56

Re: Dominio della tangente 08/10/2012 10:57 #34781

  • Antonio56
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Grazie "Danni" adesso ho finalmente capito !! Hai ragione avevo in mente che bisognava considerare solo per una volta la circonferenza. Antonio

P.S. Ultimissima cosa, volendo scrivere nel messaggio di testo "pi greco" come devo fare ?
Ringraziano: Danni

Re: Dominio della tangente 08/10/2012 11:49 #34782

  • Omega
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Mi reinserico: "\pi" incluso nella formula, cioè tra tags LaTeX (bottoncino "TeX").
Sitemo il LaTeX del tuo messaggio iniziale.
Ringraziano: Antonio56
Os
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