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Determinare perimetro e altezza relativa all'ipotenusa di un triangolo rettangolo.
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Ripetizioni di Matematica online

Determinare perimetro e altezza relativa all'ipotenusa di un triangolo rettangolo.

Determinare perimetro e altezza relativa all'ipotenusa di un triangolo rettangolo. 16/05/2012 17:15 #18530

  • alexia994
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Ho un problema in cui devo calcolare il perimetro e l'altezza relativa all'ipotenusa di un triangolo rettangolo. Il testo dice:

in un triangolo rettangolo un cateto è lungo 75 cm e il seno del suo angolo opposto è 15/17. Determinare perimetro e altezza relativa all'ipotenusa di un triangolo rettangolo. (niente Pitagora, solo 1,2 e 3 Teorema dei triangoli rettangoli).
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Re: Determinare perimetro e altezza relativa all'ipotenusa di un triangolo rettangolo. 16/05/2012 17:46 #18549

  • Omega
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Chiamiamo a,b,c rispettivamente le misure dei due cateti e dell'ipotenusa del triangolo rettangolo, e chiamiamo \alpha,\beta,\gamma gli angoli opposti ai precedenti lati, nell'ordine. Con questa scelta di notazioni abbiamo \gamma=90^{o}.

Noi sappiamo che

a=75cm

\sin{(\alpha)}=\frac{15}{17}

Le relazioni trigonometriche per triangoli rettangoli che dobbiamo usare sono

a=c\sin{(\alpha)} da cui ricaviamo la misura dell'ipotenusa

c=\frac{a}{\sin{(\alpha)}}=\frac{75cm}{\frac{15}{17}}=75\frac{17}{15}=85cm

Il punto ora è: senza Pitagora come calcoliamo la misura del secondo cateto, cioè di b?

Sappiamo che

b=c\cos{(\alpha)}

il punto è che non conosciamo il valore di \cos{(\alpha)}. Sicuri di non conoscerlo?

L'identità fondamentale della trigonometria (vedi formule trigonometriche) ci dice che

\sin^2{(\alpha)}+\cos^2{(\alpha)}=1

per cui

\cos^2{(\alpha)}=1-\sin^2{(\alpha)}=1-\frac{225}{289}=\frac{64}{289}

Prendiamone la radice quadrata

\cos{(\alpha)}=\pm\frac{8}{17}

Il coseno deve avere segno positivo, perché assume segno negativo solamente per angoli compresi tra 180^{o} e 270^{o}, quindi

\cos{(\alpha)}=+\frac{8}{17}

quindi

b=c\cos{(\alpha)}=89\frac{8}{17}=40cm

Per il perimetro, a questo punto, somma le misure dei tre lati

2p=a+b+c

per l'altezza ricava l'area del triangolo come semiprodotto dei cateti

A_{tr}=\frac{ab}{2}

e ricavane la misura dell'altezza dalla formula dell'area come semiprodotto tra ipotenusa e altezza ad essa relativa

A_{tr}=\frac{ch}{2}

Lascio a te questi semplici calcoli
Allenati con i giochi di Matematica e migliora le tue capacità logico-deduttive!
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Ringraziano per il messaggio: alexia994

 

Utile?...

 

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