Integrale doppio con ellisse

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Integrale doppio con ellisse 12/02/2014 15:14 #62011

  • StudenteMarconi
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Ecco la mia seconda richiesta, vorrei sapere come calcolare il seguente integrale doppio con insieme definito da un'ellisse e come rappresentare il dominio graficamente

\int\int_D (x+y) dxdy

Nel dominio:

D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ y\ge x, \  4x^2+y^2 \le 4, \ y\ge 0, \ x \ge 0 \}

Grazie ancora emt
 
 

Integrale doppio con ellisse 12/02/2014 18:06 #62021

  • Galois
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[Nota ai lettori - questo Topic è stato aperto con privilegi MINIMAL. Non è richiesto un tentativo di svolgimento. La richiesta viene presa in carico con priorità assoluta]


Ciao StudenteMarconi emt

Avendo a che fare con un'integranda molto semplice il problema si riduce a scrivere il nostro dominio in modo che una delle due variabili dipenda dall'altra, mentre l'altra sia libera e sia vincolata da soli valori numerici.

Per prima cosa, anche perché richiesto dal testo dell'esercizio, cerchiamo di rappresentare il dominio di integrazione:

\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ 4x^2+y^2 \leq 4, \ y \geq x, \ y \geq 0, \ x \geq 0\}

Non dobbiamo far altro se non rappresentare graficamente le soluzioni del sistema di disequazioni (Leggimi!):

\begin{cases} 4x^2+y^2 \leq 4 \\ y \geq x \\ x \geq 0 \\ y\geq 0\end{cases}

Partiamo dalla prima: 4x^2+y^2 \leq 4

L'equazione ad essa associata: 4x^2+y^2 = 4 rappresenta un'ellisse. La possiamo infatti scrivere come:

x^2+\frac{y^2}{4}=1

(ottenuta dividendo per 4 tutti i termini dell'equazione di partenza).

Siamo quindi di fronte ad un'ellisse avente come vertici i punti:

(-1,0), \ (1,0), \ (0,-2), \ (0,2) e centro coincidente con l'origine degli assi

(rappresentato in verde)

4x^2+y^2 \leq 4

è quindi l'insieme dei punti interni a tale ellisse, frontiera inclusa.

Prendiamo ora la seconda disequazione del sistema: y \geq x

L'equazione ad essa associata, ovvero y=x altro non è se non la bisettrice del primo e terzo quadrante (rappresentata in rosso)

Dovendo rappresentare y \geq x prenderemo i punti al di sopra di tale retta.

Infine le due condizioni:

\begin{cases} x\geq 0 \\ y\geq 0 \end{cases}

ci dicono che dobbiamo stare nel primo quadrante.

Morale della favola, il nostro insieme di integrazione è il seguente:

dominio integrale doppio


-----------------------------------
-----------------------------------

Siamo quindi di fronte ad un dominio normale. Vediamo come poterlo scrivere.

Individuiamo il punto di intersezione A tra ellisse e bisettrice nel primo quadrante che ha coordinate

A \left(\frac{2\sqrt{5}}{5},\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)

Consideriamo quindi l'intervallo di ascisse 0 \leq x\leq \frac{2\sqrt{5}}{5}

Le ordinate sono libere di variare tra la bisettrice del primo e terzo quadrante e il ramo d'ellisse. Questo ramo d'ellisse lo esprimiamo invertendo l'equazione dell'ellisse stessa:

4x^2+y^2=4 \to y^2=4-4x^2 \to y=\pm 2\sqrt{1-x^2}

Ci troviamo nel primo quadrante, il segno che ci serve è quello positivo

y= 2\sqrt{1-x^2}

quindi il nostro dominio è il seguente:

\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ 0 \leq x\leq \frac{2\sqrt{5}}{5}, \  x \leq y \leq 2\sqrt{1-x^2} \}

----------------------------
----------------------------

Per la formula di riduzione possiamo quindi scrivere il nostro integrale come:

\int_{0}^{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{dx} \int_{x}^{2\sqrt{1-x^2}}{\left(x+y\right)dy}

-----------------------------
-----------------------------

Iniziamo col calcolare:

\int_{x}^{2\sqrt{1-x^2}}{\left(x+y\right)dy}=

per la proprietà di linearità dell'integrale

\int_{x}^{2\sqrt{1-x^2}}{\left(x\right)dy}+\int_{x}^{2\sqrt{1-x^2}}{\left(y\right)dy}

Ora:

\int_{x}^{2\sqrt{1-x^2}}{\left(x\right)dy} = x \int_{x}^{2\sqrt{1-x^2}}{dy} =

=x \left[y\right]_{x}^{2\sqrt{1-x^2}}=x(2\sqrt{1-x^2}-x) = 2x\sqrt{1-x^2}-x^2

Mentre:

\int_{x}^{2\sqrt{1-x^2}}{\left(y\right)dy}=\left[\frac{y^2}{2}\right]_{x}^{2\sqrt{1-x^2}}=

=\frac{1}{2}\left[y^2\right]_{x}^{2\sqrt{1-x^2}}=\frac{1}{2}\left(4(1-x^2)-x^2\right)=

=2-2x^2-\frac{1}{2}x^2 = 2 - \frac{5}{2}x^2

Pertanto:

\int_{x}^{2\sqrt{1-x^2}}{\left(x+y\right)dy}=\int_{x}^{2\sqrt{1-x^2}}{\left(x\right)dy}+\int_{x}^{2\sqrt{1-x^2}}{\left(y\right)dy}=

=2x\sqrt{1-x^2}-x^2+2 - \frac{5}{2}x^2=2x\sqrt{1-x^2} - \frac{7}{2}x^2 + 2

------------------------------
------------------------------

Ricordando che ci eravamo proposti di calcolare:

\int_{0}^{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{dx} \int_{x}^{2\sqrt{1-x^2}}{\left(x+y\right)dy}

Non ci rimane altro da fare se non calcolare il valore dell'integrale definito:

\int_{0}^{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\left[2x\sqrt{1-x^2} - \frac{7}{2}x^2 + 2\right]dx}=

che, sempre per la linearità dell'integrale possiamo spezzare nei tre integrali:

=\int_{0}^{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\left[2x\sqrt{1-x^2}\right]dx}-\frac{7}{2}\int_{0}^{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\left[x^2\right]dx}+2\int_{0}^{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\left[2\right]dx}

--------------------------------
--------------------------------

Partiamo dal primo:

\int_{0}^{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\left[2x\sqrt{1-x^2}\right]dx}

Scrivendolo come:

-\int_{0}^{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\left[-2x(1-x^2)^{\frac{1}{2}}\right]dx}

ci siamo ricondotti ad un integrale fondamentale del tipo:

\int{\left([f(x)]^n f'(x) \right)dx}=\frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} + c

dove nel nostro caso: n=\frac{1}{2}, \ f(x)=1-x^2

Quindi:

-\int_{0}^{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\left[-2x(1-x^2)^{\frac{1}{2}}\right]dx}=-\left[\frac{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{\frac{2\sqrt{5}}{5}}=

(dopo qualche conticino puramente algebrico)

=-\frac{2\sqrt{5}}{75}+\frac{2}{3}

-----------------------

Il secondo e il terzo sono a dir poco immediati:

-\frac{7}{2}\int_{0}^{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\left[x^2\right]dx}=-\frac{7}{2}\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{\frac{2\sqrt{5}}{5}}=-\frac{28 \sqrt{5}}{75}

-----------------------

2\int_{0}^{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\left[2\right]dx} = 2 \left[x\right]_{0}^{\frac{2\sqrt{5}}{5}}=\frac{4}{5}\sqrt{5}


Quindi, ricapitolando:

\int_{0}^{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\left[2x\sqrt{1-x^2} - \frac{7}{2}x^2 + 2\right]dx}=

=-\frac{2\sqrt{5}}{75}+\frac{2}{3} - \frac{28 \sqrt{5}}{75}+\frac{4}{5}\sqrt{5} = \frac{-2\sqrt{5}+50-28\sqrt{5}+60\sqrt{5}}{75}=

=\frac{30\sqrt{5}+50}{75}=\frac{2\sqrt{5}}{5}+\frac{2}{3}

che è il valore del nostro integrale doppio di partenza emt
Da un grande potere derivano grandi responsabilità.
Ringraziano: Ifrit, StudenteMarconi, CarFaby

Integrale doppio con ellisse 13/02/2014 11:14 #62047

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Grazie Galois!!
Ringraziano: Galois
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Os