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Triangolo forse rettangolo con la tangente a un cerchio
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Ripetizioni di Matematica online

Triangolo forse rettangolo con la tangente a un cerchio

Triangolo forse rettangolo con la tangente a un cerchio 27/10/2013 12:57 #54287

  • giulymaty
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Ciao a tutti ho un problema con un esercizio sul cerchio, con un triangolo costruito con la tangente alla circonferenza. Spero che mi possiate aiutare. Mi spiego: da un punto P esterno alla circonferenza di centro O conduci la tangente PA alla circonferenza. Sapendo che l'angolo OPA misura 45° e che il raggio misura 3,5 dm, calcola il perimetro e l'area del triangolo APO.

Ok fino a qui' sembra chiaro ma se io disegno il triangolo mi viene "quasi" rettangolo. Sapendo che qualsiasi angolo formato dal raggio sulla circonferenza è di 90°. L'altro angolo del triangolo dovrebbe essere 90°-45°=45° giusto?

A questo punto come faccio a trovare un altro cateto per poi usare Pitagora?
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Triangolo forse rettangolo con la tangente a un cerchio 27/10/2013 15:20 #54307

  • Omega
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Ciao GiulyMaty, dato che la retta condotta dal punto P è tangente alla circonferenza, sai automaticamente che il raggio che congiunge il centro O della circonferenza con il punto di tangenza A è perpendicolare alla retta tangente.

Il triangolo PAO di conseguenza è un triangolo rettangolo con angolo retto P\hat{A}O=90^{o}.

La tua osservazione sull'ampiezza dell'angolo O\hat{P}A è corretta: la somma degli angoli interni di un triangolo è pari a 180^{o}, quindi

A\hat{O}P=180^{o}-O\hat{A}P-A\hat{P}O=180^{o}-90^{o}-45^{o}=45^{o}

Cosa ne deduciamo? Che OAP è anche un triangolo isoscele e che \overline{PA}=\overline{OA}=3,5\ dm.

Hai due cateti, PA,OA e ne conosci le misure: applica il teorema di Pitagora per calcolare la misura dell'ipotenusa

\overline{PO}=\sqrt{\overline{PA}^2+\overline{AO}^2}=\sqrt{3,5^2+3,5^2}=\sqrt{24,5}\simeq 5\ dm

(arrotondato per eccesso), calcola il perimetro

2p=\overline{OA}+\overline{PA}+\overline{PO}=3,5+3,5+5=12\ dm

e poi calcola l'area del triangolo con la formula di Erone (vedi le formule sul triangolo)

2p=\sqrt{p\times (p-\overline{PA})\times (p-\overline{OP})\times (p-\overline{OA})}

dove p indica il semiperimetro del triangolo.
Allenati con i giochi di Matematica e migliora le tue capacità logico-deduttive!
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Ringraziano per il messaggio: Pi Greco, giulymaty, Galois

 

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