Problema: calcolare il perimetro di un rombo

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Problema: calcolare il perimetro di un rombo 12/12/2012 18:14 #42126

  • valelaur
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Ragazzi sapreste aiutarmi con questo problema sul calcolo del perimetro di un rombo?

Un angolo di un rombo misura 120°. Calcola il suo perimetro sapendo che la diagonale minore misura 129 cm.

Risultato: 516 cm...Grazie.
 
 

Problema: calcolare il perimetro di un rombo 12/12/2012 18:36 #42131

  • Galois
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Ciao Valelaur,

richiamiamo due proprietà del rombo:

a) gli angoli opposti sono uguali

b) gli angoli adiacenti sono angoli supplementari

Pertanto detti \hat{A},\ \hat{B},\ \hat{C},\ \hat{D} gli angoli del rombo, supponendo che

\hat{A}=120^{\circ}

e che \hat{C} sia opposto ad \hat{A}
si ha che

\\ \hat{C}=120^{\circ}\\ \\ \mbox{e}\\ \\ \hat{B}=\hat{D}=180^{\circ} - 120^{\circ}=60^{\circ}

Ora, tracciando le diagonali del rombo (che dividono gli angoli da cui partono in parti uguali) gli angoli \hat{A} e \hat{C} di 120° vengono divisi in due angoli da 60°, mentre gli angoli
\hat{B} e \hat{D} di 60° vengono divisi in due angoli di 30°.

Rimane da capire qual è la diagonale minore, se AC o BD.

Poiché in un triangolo a lato maggiore sta opposto angolo maggiore, si ha che BD (opposta all'angolo 120°) è la maggiore, mentre AC è la minore ed essa è il lato di un triangolo avente tutti gli angoli di 60°, ovvero è il lato di un triangolo equilatero. Ne segue che tutti e 4 i lati del rombo hanno la stessa misura della diagonale minore e quindi

\mbox{Perimetro} = 4 \times 129 = 516\ cm

Spero di esserti stato d'aiuto e, se più che la risoluzione di un problema sembra un poema, è solo per cercare di essere il più chiaro possibile.
Da un grande potere derivano grandi responsabilità.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, valelaur

Problema: calcolare il perimetro di un rombo 12/12/2012 18:38 #42132

  • Ifrit
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Ciao Valelaur,

partiamo dal disegno

rombo_ifrit.png


Ti accorgi subito che la diagonale minore divide l'angolo in due parti, che valgono rispettivamente 60 gradi (le diagonali di un rombo giacciono sulle bisettrici degli angoli. E' una delle tante proprietà del rombo)

La diagonale inoltre divide il rombo in due triangoli, ed essi sono triangoli equilateri questo perché sia l'angolo C\hat{D}F che D\hat{F}C valgono 60 gradi, necessariamente anche l'angolo in C deve valere 60 gradi.

Il lato del triangolo equilatero coincide con la diagonale minore, sfruttando il fatto che il triangolo equilatero ha tre lati uguali, si ha che CD= d_{minore}=129\,\,cm

Il perimetro del rombo è quindi:

P= 4\times CD= 4\times 129=516\,\, cm

Abbiamo finito
Ringraziano: Omega, Pi Greco, valelaur, Galois
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