Due domande sui trapezi isosceli

Ho due esercizi sui trapezi isosceli e sulle diagonali del trapezio e non riesco a risolverli. Chiedo il vostro aiuto.

1) Nel trapezio isoscele le diagonali sono bisettrici degli angoli interni?

2) Disegna un trapezio isoscele con i lati obliqui congruenti alla base minore. Dimostra che le diagonali sono bisettrici degli angoli adiacenti alla base maggiore.

Grazie

Ciao Anna

La risposta alla prima domanda è: no, le diagonali di un trapezio isoscele non sono bisettrici degli angoli interni.

Per il secondo problema, occupiamoci innanzitutto della figura: chiamiamo (vertici da sinistra a destra ) la base maggiore, la base minore e i lati obliqui.

Consideriamo la diagonale , e tracciamo il segmento in modo che sia parallelo al lato .

Noi sappiamo che , il che fa del triangolo un triangolo isoscele, dunque .

Per costruzione, inoltre, abbiamo che in quanto segmenti a due a due paralleli. Il triangolo è isoscele, e gli angoli alla base coincidono: .

Il primo criterio di congruenza tra triangoli ci garantisce che i triangoli e sono congruenti, quindi sono congruenti gli angoli , e è bisettrice dell'angolo .

Ci si comporta in modo analogo per l'angolo .

Ciao!Ipotesi
Trapezio isoscele ABCD con
AB = base maggiore
DC = base minore
BC = AD = lati obliqui
DB = AC = diagonali
AD = BC
DAB^ = CBA^
DC = AD = BC

Tesi
DAC^ = CAB^ = CBD^ = DBA^

Considera i triangoli DAC e CBD che hanno:
AD = DC
BC = DC per ipotesi
AC = BD per ipotesi
I due triangoli sono congruenti per il terzo criterio (tre lati ordinatamente congruenti) quindi risulta:
DAC^ = CBD^
Poiché DAB ^ = CBA^ per ipotesi, consegue che
DAC^ = CAB^ = CBD^ = DBA^
e resta dimostrato che AC e BD sono le bisettrici degli angoli adiacenti ad AB