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Problemi area minima e massima di rettangoli in parabole senza derivate
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Ripetizioni di Matematica online

Problemi area minima e massima di rettangoli in parabole senza derivate

Problemi area minima e massima di rettangoli in parabole senza derivate 14/02/2013 17:40 #48441

  • sbesby
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Ciao a tutti, avrei bisogno di capire in che modo posso risolvere i problemi sulla parabola in cui mi chiede di trovare perimetro o area massima di rettangoli.

Partendo dal fatto che capisco di dover mettere a sistema la parabola con il fascio improprio di rette e che poi arrivo ad avere due x (con k). Così posso trovare le distanze dei vertici e trovare l'equazione con k del perimetro e dell'area...ma a questo punto, NON potendo fare la derivata in quanto non l'ho ancora studiata, come posso procedere? Grazie.

(Per un esempio pratico ho la parabola y=-x^2+4x e devo determinare, nel segmento parabolico delimitato dall'asse x, il rettangolo con perimetro massimo e quello con area massima)...Grazie.
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ly

 

Re: Problemi area minima e massima di rettangoli in parabole senza derivate 14/02/2013 18:42 #48460

  • Ifrit
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Ciao sbesby benvenuto su Youmath:)

Per prima cosa disegna la parabola che ha intersezione con l'asse X nei punti:

O=(0,0)

T=(4,0)

ed è concava con vertice:

C= \left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right)= \left(2,4\right)

L'asse della parabola ha equazione:

y= -\frac{b}{2a}= 2

Grazie alla simmetria della parabola rispetto all'asse, posso pensare di lavorare con la variabile x che varia tra 0 e 2,

Consideriamo ora un punto A di coordinare:

A=(x, 0)\quad x\in [0,2]

Per questione di simmetria si ha che:

A'= (4-x, 0)

La distanza AA' corrisponde alla base del rettangolo:

b=AA'= |4-x-x|= |4-2x|= 4-2x\quad\mbox{ con } 0\le x\le 2

Dobbiamo esprimere l'altezza, al variare di x:

h=-x^2+4x

Il perimetro del rettangolo è dato da:

P= 2(b+h)= 2(4-2x-x^2+4x)= 8+4x-2x^2\quad x\in [0,2]

Il perimetro è in funzioni di x e la sua espressione descrive una parabola concava, quindi il punto di massimo e il massimo sono dati rispettivamente dall'ascissa e dall'ordinata del vertice:

\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta_P}{4a}\right)=(1, 10)

Il punto di massimo è x=1 mentre il massimo è 10.

Per l'area le cose si complica un pochetto:

A= b\times h= (4-2x)(-x^2+4x)

Però qui senza derivata non saprei come affrontare la cosa.

Ecco il grafico


parabola_rettangolo_ifrit.png


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