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Equazione e centro di una circonferenza nota una retta tangente
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Ripetizioni di Matematica online

Equazione e centro di una circonferenza nota una retta tangente

Equazione e centro di una circonferenza nota una retta tangente 04/09/2012 21:19 #30054

  • silvia18
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Ciao ragazzi! Ho un esercizio sull'equazione della circonferenza: in pratica devo determinare l'equazione di una circonferenza, e il suo centro, conoscendo una retta tangente. Spero che mi aiutiate. Grazie in anticipo!

Un punto O di una circonferenza C è di coordinate (1,0). In O, la circonferenza è tangente alla retta r:\ 2x+4y=0; il centro della circonferenza C si trova sulla retta s:\ x+3y-2=0. Trovare l'equazione della circonferenza ed il centro di essa.
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ly

 

Equazione e centro di una circonferenza nota una retta tangente 05/09/2012 00:31 #30085

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Ciao Silvia
Strano esercizio che dà un punto O(1;0) quando O è di solito l'origine e chiede la formula della circonferenza anziché l'equazione... e infatti c'è qualcosa che non va nella traccia: se la retta tangente passa per O(1;0),le coordinate di O devono verificare l'equazione, cosa che non avviene.

Allora, la circonferenza passa per O(0;0)

La tangente t ha coefficiente angolare

m(t) = - \frac{a}{b} =  - \frac{2}{4} = - \frac{1}{2}

La retta n del centro è perpendicolare in O alla tangente ed ha coefficiente angolare reciproco ed opposto:

m(n) = 2

Equazione della retta n del centro, passante per O(0;0):

y = mx

y = 2x

Il centro della circonferenza sta su questa retta n e sulla retta s assegnata. Impostando un sistema tra le equazioni di queste due rette otteniamo le coordinate del centro:

\begin{cases}x + 3y - 2 = 0 \\ y = 2x\end{cases}

che risolto dà

C \left( \frac{2}{7};\frac{4}{7}\right)

Il raggio al quadrato è dato da

r^2 = \overline{CO}^2 = \frac{4}{49} + \frac{16}{49 } = \frac{20}{49}

Equazione della circonferenza:

(x - xC)^2 + (y - yC)^2 = r^2

\left(x - \frac{2}{7}\right)^2 + \left(y - \frac{4}{7}\right)^2 = \frac{20}{49}

x^2 + y^2 - \frac{4}{7}x - \frac{8}{7}y = 0

che puoi anche scrivere dopo aver operato con il mcm:

7x^2 + 7y^2 - 4x - 8y = 0

La circonferenza che ha questa equazione e quindi centro in

C \left( \frac{2}{7};\frac{4}{7}\right)

passa per O ed è tangente in O alla retta di equazione 2x + 4y = 0 . Però le coordinate di O sono 0;0 e non 1;0

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Ringraziano per il messaggio: Omega, Pi Greco, Ifrit

 

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