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Parabola con vertice e un punto di passaggio
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Ripetizioni di Matematica online

Parabola con vertice e un punto di passaggio

Parabola con vertice e un punto di passaggio 18/03/2012 13:44 #11868

  • silvia18
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Ciao a tutti, ho un problema da risolvere che riguarda l'equazione di una parabola. Ho provato a fare il sistema ma non mi viene, mi potreste aiutare?

Esercizio: scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse x che ha vertice V(-1,1/2) e passa per il punto A(1,2) e costruiscine po il grafico.
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ly

 

Parabola con vertice e un punto di passaggio 18/03/2012 14:35 #11874

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Prima di procedere nella lettura ti suggerisco di aprire in un'altra scheda il formulario sulla parabola - click - e tenerlo a portata di mano.

L'equazione generica della parabola con asse parallelo all'asse X è

\Gamma:x= a y^2+b y+ c\quad a\ne 0


Il vertice di una parabola di questo tipo ha coordinate:

V\left(-\frac{\Delta}{4a}, -\frac{b}{2a}\right)

Dobbiamo imporre quindi che:

1)\,\,\,\,-\frac{\Delta}{4a}= -1

2)\,\,\,\,-\frac{b}{2a}= \frac{1}{2}

La prima equazione si riscrive come:

-\frac{b^2-4ac}{4a}=-1\iff b^2-4ac= 4a

la seconda equazione invece:

-b= a\implies b= -a

Utilizziamo la condizione di appartenenza per imporre il passaggio della parabola nel punto A(1, 2):

3)\,\,\,A\in \Gamma \iff 1= 4a+2b+c

Le condizioni 1), 2) e 3) ci permettono di costruire il sistema:

\begin{cases}4a+2b+c=1\\ b^2-4ac=4a\\ b=-a\end{cases}

Dall'ultima equazione abbiamo b in funzione di a, sostituiamolo nella prima:

\begin{cases}4a+2(-a)+c=1\\ b^2-4ac=4a\\ b=-a\end{cases}

\begin{cases}4a-2a+c=1\\ b^2-4ac=4a\\ b=-a\end{cases}

\begin{cases}2a+c=1\\ b^2-4ac=4a\\ b=-a\end{cases}

Dalla prima equazione possiamo esprimere c in funzione di a ottenendo:

\begin{cases}c=1-2a\\ b^2-4ac=4a\\ b=-a\end{cases}

Sostituiamo b e c nella seconda equazione:

\begin{cases}c=1-2a\\ (-a)^2-4a(1-2a)=4a\\ b=-a\end{cases}

\begin{cases}c=1-2a\\ 9a^2-8a=0\\ b=-a\end{cases}

Risolvendo la seconda equazione otteniamo:

9a^2-8a=0\iff a(9a-8 )=0\iff a=0\vee a= \frac{8}{9}

la soluzione a=0 non è accettabile quindi rimane:

a= \frac{8}{9}

da cui segue che:

b= -\frac{8}{9}

c= 1-2\cdot\frac{8}{9}= -\frac{7}{9}

L'equazione della parabola quindi è:

\Gamma: x= \frac{8}{9} y^2-\frac{8}{9}y-\frac{7}{9}

Il grafico:

parabola_2012-03-18.png
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