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Calcolare il baricentro di un solido omogeneo
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Ripetizioni di Matematica online

Calcolare il baricentro di un solido omogeneo

Calcolare il baricentro di un solido omogeneo 04/02/2014 15:45 #61451

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Ciao, ho un esercizio che mi chiede di calcolare le coordinate del baricentro del solido omogeneo definito come segue:

D =\left\{ 1 \le x^{2} + y^{2} +z^{2} \le 9 ; \sqrt{x^{2} + z^{2}} \le \sqrt{3}y\right\}


Trovo che  x^{2} + y^{2} +z^{2} = 1 è una sfera di raggio 1 e centro nell'origine.
 x^{2} + y^{2} +z^{2} = 9 è una sfera di raggio 3 e centro nell'origine.
 \sqrt{x^{2} + z^{2}} <= \sqrt{3}y è un cono infinito.

Disegno il grafico in 2D nel piano (x,y) quindi z = 0.
Come allego l'immagine?

Ora per calcolare il centro di massa devo utilizzare questa formula sia per la x,y che per la z.

Per la x:

\frac{ \iiint_{D} { x * \gamma } dxdydz }{ \iiint_{D} { \gamma dxdydz }}

Stessa cosa per la y e z. La densità gamma è pari a 1 perché il solido è omogeneo (testo esercizio).

Ora il problema è che visto che io ho fatto il grafico in 2D nel piano (x,y) come tratto la z?
Non riesco a fare nemmeno la x, potreste darmi dei consigli?
Grazie della disponibilità.
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Calcolare il baricentro di un solido omogeneo 04/02/2014 17:53 #61491

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Il procedimento che proponi va bene. Anche le formule sono corrette. Poiché il solido è omogeneo allora \gamma= 1, le formule per determinare le coordinate del baricentro sono:

x_{G}= \frac{\iiint_{D}xdxdydz}{\iiint_{D} dxdydz}

y_{G}= \frac{\iiint_{D}ydxdydz}{\iiint_{D} dxdydz}

z_{G}= \frac{\iiint_{D}zdxdydz}{\iiint_{D} dxdydz}

Ora io procederei con il calcolo del volume passando alle coordinate sferiche:

x= r\sin(\phi)\cos(\theta)\,\, z= r\sin(\phi)\sin(\theta)\,\, y= r\cos(\phi)

con r\ge 0, \phi\in [0, \pi], \theta\in [0,2\pi)

] Lo Jacobiano associato alla trasformazione è |J|= r^2\sin(\phi)

Sostituiamo le coordinate nella catena di disequazioni:

1\le x^2+ y^2+ z^2\le 9\iff 1\le r^2\le 9\iff 1\le r\le 3

Ho utilizzato un po' di formule goniometriche, grazie alle quali abbiamo una condizione su r.

Sostituiamo ora nella seconda condizione:

\sqrt{x^2+z^2}\le \sqrt{3}y

con qualche passaggio di trigonometria arriveremo a scrivere:

\sqrt{r^2\sin^2(\phi)}\le \sqrt{3}r\cos(\phi)
]
da cui grazie alla definizione di valore assoluto:

r|\sin(\phi)|\le \sqrt{3}r\cos(\phi)\mbox{ con }\phi \in [0, \pi)

Osserva che il primo membro è positivo, inoltre in [0, \pi) la funzione seno è positiva o al più nulla, quindi |\sin(\phi)|= \sin(\phi)

In definitiva la disequazione diventa:

\sin(\phi)\le \sqrt{3}\cos(\phi)

(ho semplificato r)

Poiché il primo membro è positivo lo deve anche essere il secondo membro altrimenti la disequazione non può essere soddisfatta, dobbiamo quindi pretendere che \cos(\phi)>0\implies \phi\in \left(0,\pi/2\right)


Benissimo! Possiamo dividere membro a membro per \cos(\phi) che è positivo in (0, \pi/2) quindi non inverte il verso della disequazione:

\tan(\phi)\le \sqrt{3}

Da cui \phi\in \left(0, \frac{\pi}{3}\right)

La variabile \theta è libera di variare nel suo intervallo naturale ovvero:

\theta\in [0, 2\pi)

L'integrale da risolvere per calcolare il volume è:

\mbox{Vol}(D)= \iiint_{D}dxdydz= \int_{1}^{3}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}r^2\sin(\phi) d\phi d\theta dr=\frac{26\pi}{3}

Adesso non ti rimane che calcolare le coordinate del baricentro, ovviamente hai a disposizione gli estremi di integrazione. Nota che a causa della simmetria, le coordinate del baricentro x_G e di z_G devono essere zero. L'unica coordinata non nulla è y_G.
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Re: Calcolare il baricentro di un solido omogeneo 05/02/2014 15:35 #61563

  • escher
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Grazie della risposta, sei stato chiarissimo!

Ho però una domanda da porti: ho usato le formule che hai scritto tu per calcolare il centro di massa, quindi:

x_{G}= \frac{\iiint_{D}xdxdydz}{\iiint_{D} dxdydz}

Sostituisco alla x=r\sin(\phi)\cos(\theta) e aggiungo anche il fattore correttivo ossia lo Jacobiano. L'integrale viene 0.

Andando ad applicare la formula per la y, cioè sostituendo y=r\sin(\phi)\sin(\theta) e anche qui aggiungendo il fattore correttivo, viene ancora zero.

Per la z invece viene 45/26 (applicando sempre lo stesso procedimento).


Ora andando a vedere il risultato del libro la x dovrebbe venire zero come la z, mentre la y 45/26. E questo sarebbe in linea con quello che hai detto tu, nel precedente post, dicendomi che la x e la z sono simmetrici quindi zero, mentre la y è non nulla.

Dove sbaglio?
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Re: Calcolare il baricentro di un solido omogeneo 06/02/2014 00:17 #61655

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Guarda bene le coordinate sferiche

Non sono quelle classiche, nota che ho posto:

x= r\sin(\phi)\cos(\theta)\,\, \color{blue}z= r\sin(\phi)\sin(\theta)\color{black}\,\, \color{red}y= r\cos(\phi)\color{black}.

Ovvero ho scritto le coordinate sferiche "vedendo come asse z" l'asse y. Perché? Semplice, ci guadagnavo in conti quando avrei sostituito nella disequazione che definisce il cono:

 \sqrt{x^{2} + z^{2}} \le \sqrt{3}y

come si fa a capire quando utilizzare questa furbata? Continua ad esercitarti fino a quando comprenderai che a volte un semplice cambio di prospettiva risolve molti problemi

x e z non sono simmetrici, è il solido ad essere simmetrico rispetto all'asse y.
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Re: Calcolare il baricentro di un solido omogeneo 06/02/2014 15:47 #61690

  • escher
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Grazie mille, non ci avrei mai pensato a cambiare le coordinate sferiche a mio piacimento. Non pensavo si potesse fare.


x e z non sono simmetrici, è il solido ad essere simmetrico rispetto all'asse y


Non riesco mai a capirlo, devo esercitarmi di più.

Grazie ancora.
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