Limite di un integrale doppio all'infinito

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Limite di un integrale doppio all'infinito 01/12/2013 14:02 #56674

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Ciao a tutti, ho un dubbio sul procedimento per calcolare il limite di un integrale doppio all'infinito, il testo dell'esercizio è: calcolare

\lim_{R\to +\infty} \int_{Q_R} \frac{1}{1+x^2+y^2}dxdy

dove Q_R indica il quadrato con centro in (0,0) e semilato R.


Svolgimento

Ho provato a fare così: se ho capito bene ho un quadrato dentro un cerchio, quindi il mio Q_R è questo insieme

Q_R=\{(x,y)\in \mathbb{R^2}: x^2+y^2\leq R^2\}

Passo a coordinate polari x=\rho \cos \theta,\ y=\rho \sin\theta, con \theta \in [0, 2\pi].

Quindi ho che \rho \in [-R, R] e imposto l'integrale doppio, con determinante jacopiano che è \rho

\int_{0}^{2\pi}d\theta \left(\int_{-R}^{R} \frac{\rho}{1+\rho^2}d\rho\right)

mi levo già il d\theta e mi diventa quest'integrale

2\pi \int_{-R}^{R} \frac{\rho}{1+\rho^2}d\rho

poi siccome è una funzione pari, faccio così

4\pi \int_{0}^{R} \frac{\rho}{1+\rho^2}d\rho

prima di calcolare l'integrale, vado a vedere sulla soluzione se ho eseguito correttamente l'impostazione dell'integrale.. e vedo che ho sbagliato, la soluzione imposta l'integrale così

2\pi \int_{0}^{R} \frac{\rho}{1+\rho^2}d\rho

perchè mette un 2\pi fuori dall'integrale? Non dovrebbe essere come ho eseguito io un 4\pi ? Ho eseguito alla lettera le sostituzioni..

EDIT: si può chiudere, mi sembra che ho già trovato il mio errore. E' solamente il semilato del primo quadrante.. per cui si ha che \rho \in [0, R].

Quindi l'integrale è

2\pi \int_{0}^{R} \frac{\rho}{1+\rho^2}d\rho

e procedere che diventa \pi \ln(1+\rho^2)|_{0}^{R}=\pi \ln(1+R^2)

Ecco fatto.. chiedo scusa per aver fatto un topic un po' inutile..
 
 

Limite di un integrale doppio all'infinito 01/12/2013 16:29 #56694

  • Omega
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Ciao Zuclo21, non è inutile. Mi dà la possibilità di dirti come evitare errori di interpretazione che non pensi di aver commesso.

Volendo studiare il valore del limite dell'integrale doppio

\lim_{R\to +\infty} \int_{Q_R} \frac{1}{1+x^2+y^2}dxdy

bisogna fare attenzione che, essendo Q_R definito come il quadrato centrato nell'origine con semilato R

Q_R:=\{(x,y)\in\mathbb{R}\mbox{ t.c. }|x|\leq R,\ |y|\leq R\}

non c'è nessuna circonferenza da considerare.

Possiamo semmai cercare di dimostrare che il precedente limite vale +\infty

\lim_{R\to +\infty} \int_{Q_R} \frac{1}{1+x^2+y^2}dxdy=+\infty

osservando che la funzione integranda è positiva su tutto il piano reale, dunque essendo la circonferenza di raggio R centrata nell'origine (=:C_R) contenuta nel quadrato di lato R, segue che

\int_{C_R} \frac{1}{1+x^2+y^2}dxdy\leq \int_{Q_R} \frac{1}{1+x^2+y^2}dxdy

dunque se riusciamo a dimostrare che

\lim_{R\to +\infty} \int_{C_R} \frac{1}{1+x^2+y^2}dxdy=+\infty

avremo automaticamente

\lim_{R\to +\infty} \int_{Q_R} \frac{1}{1+x^2+y^2}dxdy=+\infty


Il punto è che non possiamo calcolare l'integrale doppio come hai fatto tu, perché Q_R in coordinate polari non è più un quadrato. Non è nemmeno semplice trovare la corrispondente rappresentazione polare dell'insieme.

Viceversa, calcolare l'integrale in coordinate cartesiane è una follia.

L'unico barbatrucco ammissibile consiste nella minorazione che ho indicato in precedenza.

---

Alla luce delle precedenti considerazioni, calcoliamo

\lim_{R\to +\infty} \int_{C_R} \frac{1}{1+x^2+y^2}dxdy

passiamo alle coordinate polari. Lo Jacobiano associato alla trasformazione è dxdy\ \to\ \rho d\rho d\theta

\lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R} \frac{\rho}{1+\rho^2}d\rho d\theta=

Integriamo rispetto a \rho

=\lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{2\pi}\left[\frac{1}{2}\log{(1+R^2)}\right] d\theta=

l'integrazione rispetto a \theta non produce altro se non un coefficiente 2\pi

=\lim_{R\to +\infty} [\pi(\log{(1+R^2)})]

tale limite vale banalmente +\infty, In definitiva

\lim_{R\to +\infty} \int_{Q_R} \frac{1}{1+x^2+y^2}dxdy=+\infty



Osservazioni sul tuo svolgimento (oltre alle precedenti)

- il raggio in coordinate polari deve essere, per definizione, \rho\geq 0;

- occhio che in coordinate polari è \theta\in [0,2\pi), secondo estremo escluso.
Ringraziano: 21zuclo, CarFaby

Re: Limite di un integrale doppio all'infinito 01/12/2013 17:42 #56716

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Omega ha scritto:
\lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R} \frac{\rho}{1+\rho^2}d\rho d\theta=

Intanto grazie per l'ottima risposta! Ho capito un bel po' di errori che ho commesso prima...

Solo una cosa per essere sicuro (il primo parziale è molto vicino ho paura di combinare sciocchezze): abbiamo integrato \rho \in [0, R] perché stiamo integrando sul primo quadrante, esatto?

Perché vedi prima avevo preso \rho \in [-R,R] ma come giustamente hai detto il \rho è sempre maggiore o uguale a 0, perché è dato da questa formula \rho=\sqrt{x^2+y^2}.

Re: Limite di un integrale doppio all'infinito 01/12/2013 17:48 #56719

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Occhio...

Come sono definite le coordinate polari?

Com'è definita la variabile \rho (raggio)?

Come hai scritto alla fine della risposta: \rho=\sqrt{x^2+y^2}, dunque \rho\geq 0 per definizione.
Ringraziano: Pi Greco, 21zuclo, CarFaby
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