Impostazione integrale doppio su unione di due insiemi

Prima di postare leggi le regole del Forum.

Impostazione integrale doppio su unione di due insiemi 13/09/2013 11:35 #51374

  • Maxximo
  • avt
  • Offline
  • Cerchio
  • Messaggi: 23
Ciao, come da regolamento apro una nuova discussione per chiedere dei consigli su un altro integrale doppio da calcolare sull'unione di un insieme! Come risolvere questa variante dell'esercizio di ieri?

Calcolare l'integrale doppio sull'unione di due insiemi della funzione

f(x,y)=x^2y

sull'insieme D=D_1\cup D_2, dove

D_1=[-2,2]\times[0,2]\ -\ \{\mbox{ triangolo di vertici }(-1,0),(1,0),(0,1)\}

e

D_2=\{(x,y)\ :\ 1\leq x^2+y^2\leq 4;\ y\leq 0\}

Questa volta il fatto che la funzione sia dispari rispetto a y, non mi aiuta, dato che l'insieme non è simmetrico rispetto a x, dico bene? (Mentre se dovessi calcolarlo solo su D_2 l'integrale sarebbe 0 per simmetria, giusto?)

Quindi si dovrebbe procedere per via "tradizionale", ma qui iniziano i miei problemi, se non ci fosse quel triangolo da togliere in D_1, D_1 sarebbe già pronto, ma essendo così quale è il ragionamento da fare per impostare al meglio gli insiemi su cui integrare?
 
 

Re: Impostazione integrale doppio su unione di due insiemi 13/09/2013 13:10 #51385

  • Ifrit
  • avt
  • Adesso online
  • Ambasciatore
  • Messaggi: 6574
Ciao Maxximo emt

Per prima cosa disegniamo il dominio di integrazione

dominio_di_integrazine_corona_circolare.png


Poiché gli insiemi D_1,D_2 sono disgiunti allora possiamo utilizzare l'additività rispetto al dominio di integrazione:

\iint_{D_1\cup D_2}x^2 y dx dy= \iint_{D_1}x^2 y dx dy+\iint_{D_2}x^2 y dx dy

Concentriamoci sul primo integrale:

\iint_{D_1}x^2 ydx dy


La funzione integranda f(x,y)= x^2 y è pari rispetto ad x, infatti

f(-x,y)= f(x,y)\quad\forall (x, y)\in \mathbb{R}^2

Spezziamo a metà il dominio D_1 e chiamiamolo S


dominio_dimezzato.png



Per simmetria possiamo scrivere che:

\iint_{D_1}x^2 y dx dy= 2\iint_{S} x^2 y dx dy

Adesso cerchiamo di risolvere l'integrale

\iint_{S}x^2 y dx dy

Ancora una volta il calcolo non è agevole, ma possiamo utilizzare un trucchetto. Completiamo il quadrato, aggiungendo ad S il triangolo di vertici (0, 0), (0, 1), (1, 0). Chiamiamo l'inseme T:

L'insieme S\cup T è il quadrato di lato 2.

dominio_di_integrazine_completamento.png


S\cup T=\left\{(x,y): 0\le x\le 2, 0\le y\le 2\right\}

Per le proprietà degli integrali doppi:

\iint_{S}x^2 y dx dy= \iint_{S\cup T}x^2 ydx dy- \iint_{T}x^2 y dx dy

Risolviamo

 \iint_{S\cup T}x^2 ydx dy= \int_{0}^{2}\int_{0}^{2}x^2 y dx dy= \frac{16}{3}

Adesso determiniamo

\iint_{T}x^2 y dx dy

dove T=\left\{(x, y)\in \mathbb{R}^2: 0\le x\le 1, 0\le y\le 1-x\right\}

che è un insieme x-semplice (anche y- semplice), di conseguenza

\iint_{T}x^2 y dx dy= \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}x^2 ydy dx= \frac{1}{60}

In definitiva:

\iint_{S}x^2 ydx dy= \frac{16}{3}- \frac{1}{60}=\frac{319}{60}

dunque:

\iint_{D_1}x^2 ydx dy= 2\iint_{S}x^2 ydx dy= \frac{319}{30}

Ora dobbiamo calcolare l'integrale sulla semicorona circolare:

\iint_{D_2}x^2 y dx dy

Passiamo alle coordinate polari, ponendo x= r \cos(t), y= r\sin(t)

ora dalla condizione

1\le x^2 + y^2 \le 4

segue che 1\le r\le 2

Dalla condizione

y\le 0\implies r \sin(t)\le 0 \implies \pi\le t\le 2\pi

Inoltre si ha che dxdy= r dr dt, l'integrale diventa:

\iint_{D_2}x^2 y dx dy= \int_{1}^{2}\int_{\pi}^{2\pi}r^2\cos^2(t) r\sin(t)\cdot r dt dr= -\frac{62}{15}

In definitiva:

\iint_{D_1\cup D_2}x^2 y dx dy= \frac{319}{30}- \frac{62}{15}=\frac{13}{2}
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois, Maxximo, CarFaby, justmarco

Re: Impostazione integrale doppio su unione di due insiemi 28/01/2014 14:42 #60608

  • justmarco
  • avt
  • Offline
  • Punto
  • Messaggi: 7
Ciao Ifrit emt

sto rifacendo lo stesso tema d'esame, l'unica differenza nei conti è che a me

\iint_{T}x^2 y dx dy

T=\left\{(x, y)\in \mathbb{R}^2: 0\le x\le 1, 0\le y\le 1-x\right\}

risulta uguale a \frac{8}{15}

tralasciando i calcoli c'è una cosa che non sono riuscito a capire. Perchè quando vai a riscrivere la funzione integranda sottoforma di coordinate polari scrivi:

dxdy= r dr dt

non capisco da cosa deriva la r.

Grazie emt

Re: Impostazione integrale doppio su unione di due insiemi 28/01/2014 16:16 #60635

  • Ifrit
  • avt
  • Adesso online
  • Ambasciatore
  • Messaggi: 6574
Ciao justmarco emt

Vediamo un po'

Abbiamo l'integrale doppio:

\iint_{T}x^2 ydx dy

con

T=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: 0\le x\le 1, 0\le y\le 1-x \righ\}

Integrando per verticali otterrai:

\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}x^2 ydy dx=

\int_{0}^{1} x^2 \left[\frac{y^2}{2}\right]_{0}^{1-x}dx=

\int_{0}^{1} x^2 \left[\frac{(1-x)^2}{2}\right]dx=

\int_{0}^{1}\frac{x^2 (1+x^2-2x)}{2}dx

\frac{1}{2}\int_{0}^{1}x^2+ x^4-2x^3dx=

\frac{1}{2}\left[\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-2\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1}= \frac{1}{60}

Per favore, inserisci i tuoi passaggi la prossima volta, altrimenti mi fai fare il doppio del lavoro :(

Leggi la lezione sugli integrali fondamentali

___________

Edit: dx dy= r dr dt è detto fattore di correzione d'area.

Ogniqualvolta dobbiamo passare alle coordinate polari dobbiamo sostituire il differenzale dx dy con quello associato alla trasformazione.

Il fattore d'area si ottiene tramite il calcolo della Jacobiana.
Ringraziano: CarFaby

Re: Impostazione integrale doppio su unione di due insiemi 28/01/2014 16:32 #60638

  • justmarco
  • avt
  • Offline
  • Punto
  • Messaggi: 7
Hai ragione scusa emt

Era un errore di calcolo mio, lo calcolavo tra 0 e 2 invece che tra 0 e 1 emt

Grazie dei chiarimenti!
  • Pagina:
  • 1
Os