Problema nel cambio di coordinate in un integrale doppio

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Problema nel cambio di coordinate in un integrale doppio 30/01/2013 22:18 #46366

  • mrfelix
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Salve, vi chiedo una mano per eseguire un cambio di variabile in coordinate polari per questo integrale doppio

\iint\arctan\left(\frac{y}{x}\right)dxdy

da calcolare su

D := \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2\ :\ 0\leq y\leq x\leq 1\ ,\ x^2+y^2\geq 1\}


Bene io ho studiato il grafico e ho trovato che l'area è la parte esterna al cerchio di raggio unitario e sottostante la bisettrice y=x; ora calcolo il teta che facilmente si ottiene sia compreso tra zero e pigreco/4.

Per il calcolo del raggio come operate?

Più in generale mi sapreste indicare una procedura per il calcolo di questo maledetto raggio?

Grazie a tutti!
 
 

Re: Problema nel cambio di coordinate in un integrale doppio 31/01/2013 13:36 #46419

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Ciao MrFelix, hai correttamente interpretato il dominio di integrazione. Disegnandolo otterrai:

dominio_di_integrazione_ifrit_2013-01-31.png


Effettivamente, l'insieme in cui varia il raggio non è banale da determinare, per come la vedo io, conviene procedere in questo modo:

1. Calcoli l'integrale doppio sull'insieme

D\cup D'=\{(x,y): 0\le x\le 1, 0\le y\le x\}

dove D è l'insieme che l'esercizio propone, mentre D' è l'insieme dei punti:

D'=\{(x,y): 0\le x\le 1, x^2+y^2\le 1, 0\le y\le x\}

Lo prendiamo così, perché in questo modo "completiamo il triangolo", consentendoci di integrare su un insieme normale ad entrambi gli assi


dominio_completamento_ifrit.png



Si ha quindi che:

\int_{D\cup D'}= \int_{0}^{1}\int_{0}^{x}\arctan\left(\frac{y}{x}\right)dy dx= [\mbox{conti}]=\frac{1}{8}(\pi-\ln(4))


Ora calcoliamo l'integrale doppio su D' che ricordiamo essere:

D'=\{(x,y): x^2+y^2\le 1, 0\le x\le 1, 0\le y\le x\}

Poniamo

x= r\cos(t)

y= r\sin(t)

L'angolo t (il tuo theta) varia in [0,\pi/4]

Se effettuiamo le sostituzioni nella condizine x^2+y^2\le 1

otteniamo r^2\le 1\implies 0\le r\le 1 cioè la variabile r varia tra 0 e 1. (ma lo puoi vedere anche dal disegno)

Lo Jacobiano associato alla trasformazione è |J|= r pertanto:


\iint_{D'} \arctan\left(\frac{y}{x}\right)dx dy=

\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\int_{0}^{1}\arctan\left(\frac{r\sin(t)}{r\cos(t)}\right) rdrdt=

\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\int_{0}^{1}\arctan\left(\tan(t)\right) rdrdt=

Poiché \arctan(\tan(t))= t\quad t\in \left[0,\frac{\pi}{4}\right] allora l'integrale diventa:

\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\int_{0}^{1}t\cdot rdrdt=\frac{\pi^2}{64}

Ora possiamo calcolare l'integrale su D semplicemente effettuando la differenza:

\iint_{D}arctan\left(\frac{y}{x}\right)dxdy=\overbrace{\iint_{D\cup D'}\arctan\left(\frac{y}{x}\right)dx dy}^{\frac{1}{8}(\pi-\ln(4))}-\overbrace{\iint_{D'}\arctan\left(\frac{y}{x}\right)dxdy}^{\frac{\pi^2}{64}}=

=\frac{\pi}{8}-\frac{\pi^2}{64}-\frac{\ln(4)}{8}
Ringraziano: Omega, mrfelix

Re: Problema nel cambio di coordinate in un integrale doppio 31/01/2013 15:12 #46443

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Grazie mille della tua risposta, sul testo avevo trovato che il mio raggio era 1<r<1/cos teta c'è un modo per ottenerlo??

Re: Problema nel cambio di coordinate in un integrale doppio 31/01/2013 17:02 #46471

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Aspetta, hai ragione, scusami.

Dalla catena di disequazioni:

0\le x\le 1

segue che 0\le r\cos(t)\le 1\implies 0\le r\le \frac{1}{\cos(t)}\quad t\in \left(0,\frac{\pi}{4}\right)

Inoltre da

x^2+y^2\ge 1\implies r^2\cos^2t+r^2\sin^2t\ge 1\iff

r^2\ge 1\iff r\ge 1

In definitiva le condizioni diventano:

1\le r\le \frac{1}{\cos(t)}

Quindi l'integrale da risolvere diventa:

\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\int_{1}^{\frac{1}{\cos(t)}}t r dr dt
Ringraziano: Omega, mrfelix

Re: Problema nel cambio di coordinate in un integrale doppio 31/01/2013 18:48 #46507

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Grazie mille sei stato davvero gentile... emt emt emt

Re: Problema nel cambio di coordinate in un integrale doppio 31/01/2013 18:52 #46510

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Un ultima domanda potresti indicarmi come hai sviluppato la catena di disequazioni??

Re: Problema nel cambio di coordinate in un integrale doppio 31/01/2013 19:09 #46519

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Da 0\le y\le x \le 1 segue che:

0\le x\le 1

Poiché abbiamo posto:

x= r\cos(t)

allora la precedente catena diventa

0\le r\cos(t)\le 1\mbox{ con  }t\in [0,\pi/4]

Nell'intervallo considerato, il coseno è positivo, possiamo dividere membro a membro per \cos(t)


0\le r\le \frac{1}{\cos(t)}\mbox{ con  }t\in [0,\pi/4]


Dalla disequazione:

x^2+y^2\ge 1

e ponendo x= r\cos(t)\qquad y= r\sin(t) e sostituendo nella precedente

r^2\cos^2(t)+r^2\sin^2(t)\ge 1

mettiamo in evidenza r^2

r^2(\cos^2(t)+\sin^2(t))\ge 1


per la relazione fondamentale della goniometria

otteniamo:

r^2\ge 1\implies r\le -1\vee r\ge 1

La parte r\le -1 deve essere esclusa perché per definizione r è non negativa.

Mettendo assieme le condizioni su r, avremo l'insieme in cui varia la variabile r:

1\le r\le \frac{1}{\cos(t)}
Ringraziano: Omega

Re: Problema nel cambio di coordinate in un integrale doppio 31/01/2013 20:16 #46538

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Perfetto senti ma se invece che la x consideravo la y era la stessa cosa??

Re: Problema nel cambio di coordinate in un integrale doppio 31/01/2013 21:04 #46541

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No, non era la stessa cosa purtroppo. L'integrale sarebbe divenuto molto più elaborato, avresti dovuto infatti decomporre il dominio di integrazione in due parti:


dominio_integrazione_della_y_ifrit.png



dove

D_1=\left\{(x,y): \frac{1}{\sqrt{2}}\le y\le x, \frac{1}{\sqrt{2}}\le x\le 1\right\}

e

D_2= \left\{(x,y): x^2+y^2\ge 1, 0\le y\le \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \le x\le 1 \right\}

Insomma l'integrale non è agevole
Ringraziano: Omega, Pi Greco, mrfelix

Re: Problema nel cambio di coordinate in un integrale doppio 31/01/2013 22:45 #46553

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