Estremi di integrazione in un integrale doppio per sostituzione

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Estremi di integrazione in un integrale doppio per sostituzione 25/01/2013 17:26 #45708

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Salve a tutti! emt Devo risolvere il seguente integrale doppio e non so come comportarmi con gli estremi di integrazione:

\int{\left\int{\left(\sqrt{4-x^{2}}\rightdx}\right)dxdy}

I due domini sono:

D_{1}=\left\{0<x<1 ; 0<y<x\right\}

D_{2}=\left\{1<x<2 ; 0<y<2-x\right\}


Come suggerito dalla mia professoressa, bisogna sostituire:

x=2\sin{\left(t\right)} da cui dx=2\cos{\left(t\right)}dt.

Allora ho cominciato a risolvere l'integrale arrivando, dopo vari calcoli, a questo punto:

\int{\left\int{\left4\cos^{2}t\right}\right}\right)dt}

ora il mio dubbio: dato che ho risolto l'integrale per sostituzione la professoressa ha detto che devo cambiare anche gli estremi del dominio.
Quindi devo trasformarli in funzione di sen e cos? Se fosse così come dovrei procedere?

Grazie! emt
 
 

Re: Estremi di integrazione in un integrale doppio per sostituzione 25/01/2013 23:48 #45742

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Ciao sguy emt Iniziamo a risolvere l'integrale con il primo dominio di integrazione, cioè vogliamo calcolare:

\iint_{D_1}\sqrt{4-x^2}dx dy

Rappresentiamo il dominio di integrazione:

D_1= \{(x,y)\in \mathbb{R}^2:0<x<1, 0<y<x\}


dominio_integrazione_ifrit_2013-01-25.png


Il dominio è normale rispetto ad x e per le formule di riduzione, possiamo esprimere l'integrale di partenza come:

\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}\sqrt{4-x^2}dy dx=

\int_{0}^{1}\sqrt{4-x^2}\overbrace{\left( \int_{0}^{x}dy\right)}^{= x} dx=

\int_{0}^{1}x\sqrt{4-x^2}dx

Adesso procediamo per sostituzione, ponendo:

t= 4-x^2\implies dt= -2xdx\implies xdx= -\frac{1}{2}dt


Gli estremi di integrazione vengono modificati in base alla sostituzione:

A 0 associamo 4= 4-0^2

A 1 associamo 3= 4-1^2

Sostituendo nell'integrale:

\int_{0}^{1}x\sqrt{4-x^2}dx= \int_{4}^{3}-\frac{\sqrt{t}}{2}dt=

-\frac{1}{2}\left[\frac{2}{3}t\sqrt{t}\right]_{4}^{3}=

= \frac{8}{3}-\sqrt{3}
====================================================

Lavoriamo ora con il secondo dominio, cioè andremo a calcolare l'integrale:

\iint_{D_2} \sqrt{4-x^2}dxdy

dove D_2= \{(x,y)\in \mathbb{R}^2: 1<x<2, 0<y<2-x\}


integrazione_ifrit.png



Il dominio di integrazione è normale rispetto ad x e grazie alle formule di riduzione:

\int_{1}^{2}\int_{0}^{2-x}\sqrt{4-x^2}dy dx=

\int_{1}^{2}\sqrt{4-x^2}\int_{0}^{2-x}dy dx=

\int_{1}^{2}(2-x)\sqrt{4-x^2}dx=

Per la linearità dell'operatore integrale

\int_{1}^{2}2\sqrt{4-x^2}dx-\int_{1}^{2}x\sqrt{4-x^2}dx=

Ora per risolvere il primo integrale poniamo:

x= 2\sin(t)\implies dx= 2\cos(t)dt

Grazie a questa sostituzione l'integrale (indefinito) diventa:

\int 2\sqrt{4-4\sin^2(t)}\cdot 2\cos(t)dt= 2\int 4\cos^2(t)dt=

8\int \cos^2(t)dt=

Per risolvere l'integrale del coseno al quadrato, leggi questa discussione

Avremo che:

8\int \cos^2(t)dt=8\left( \frac{t}{2}+\frac{1}{2}\cos(x)\sin(x)\right)+c=

=4 t+4\cos(t)\sin(t)+c

ma t= \arcsin\left(\frac{x}{2}\right) quindi l'integrale di partenza vale:

\int 2\sqrt{4-x^2}dx= 4\arcsin(x/2)+4\cos(\arcsin(x/2))\sin(\arcsin(x/2))+c=

4\arcsin(x)+\frac{4x}{2}\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}+c

Dunque:

\int_{1}^{2}2\sqrt{4-x^2}dx= \left[4\arcsin(x/2)+\frac{4 x}{2}\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}\right]_{1}^{2}=

=-\sqrt{3}+\frac{4}{3}\pi.

Il secondo integrale invece vale:

\int_{1}^{2}x\sqrt{4-x^2}dx= \sqrt{3} e si risolve per sostituzione ponendo t= 4-x^2

In definitiva:

\int_{1}^{2}\int_{0}^{2-x}\sqrt{4-x^2}dy dx=


-2\sqrt{3}+\frac{4}{3}\pi [editato]

Per favore ricontrolla tutti i conti emt
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Re: Estremi di integrazione in un integrale doppio per sostituzione 28/01/2013 13:11 #45905

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Grazie per la risposta!!!!!!!

Stavo rifacendo tutti i calcoli, e credo che l'ultimo integrale venga -\sqrt{3}

Re: Estremi di integrazione in un integrale doppio per sostituzione 28/01/2013 13:36 #45912

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Ciao sguy emt se ti riferisci all'integrale:

\int_{1}^{2}\int_{0}^{2-x}\sqrt{4-x^2}dy dx= -2\sqrt{3}+\frac{4}{3}\pi

(ho corretto, prima avevo scritto -2\sqrt{2}+\frac{4}{3}\pi)

Per calcolarlo ho utilizzato il risolutore automatico per controllarlo (anche se ho avuto un risultato approssimato ) emt

Ad ogni modo, l'importante è capire il procedimento, i calcoli si fanno con calma emt
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Re: Estremi di integrazione in un integrale doppio per sostituzione 17/11/2014 15:36 #71548

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Buongiorno a tutti! sono nuovo del forum!

innanzitutto vi ringrazio moltissimo perchè mi state aiutando parecchio nella preparazione dell'esame emt

avrei però un dubbio riguardo la soluzione del primo dominio..

una volta arrivato a  \int_{0}^{1} x\sqrt{4-x^2}

non posso semplicemente risolvere con -\frac{(4-x^2)^{3/2}}{3} tra 0 e 1?

con risultato -\sqrt{3}

Re: Estremi di integrazione in un integrale doppio per sostituzione 17/11/2014 17:08 #71565

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Ciao, benvenuto! emt

Nulla ti vieta di evitare la sostituzione e di procedere col calcolo diretto, ma fa' attenzione ai conti:

\int_{0}^{1}x\sqrt{4-x^2}dx=

scrivendo la radice come potenza con esponente fratto vediamo immediatamente che ci troviamo di fronte ad un integrale immediato...

\int_{0}^{1}(4-x^2)^{\frac{1}{2}}\cdot x dx=

...a patto di dare una sistematina alle costanti moltiplicative

-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}(4-x^2)^{\frac{1}{2}}\cdot (-2x) dx=

Ora il secondo fattore è proprio la derivata della base della potenza, quindi siamo in regola col teorema per la derivata della funzione composta

-\frac{1}{2}\left[\frac{(4-x^2)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_0^1=

valutiamo la primitiva appena scritta agli estremi di integrazione

-\frac{1}{2}\left[\frac{3^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-\frac{4^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]=

-\sqrt{3}+\frac{8}{3}

che è il risultato presente nella risposta di Ifrit. emt
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