Integrare per rette orizzontali o verticali

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Integrare per rette orizzontali o verticali 31/10/2012 14:17 #37410

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Ciao a tutti, nel risolvere un integrale doppio l'esercizio mi chiedeva se poteva essere calcolato integrando per rette orizzontali o per rette verticali:

integrale doppio \iint_A(x-2y)dxdy

dove A:=\{(x,y)\ :\ 0<x<2\ ,\ 0<y<2-x\}

Cosa vuol dire calcolare l'integrale per rette orizzontali o per verticali?

Posso risolvere l'integrale indifferentemente in entrambi i modi?
 
 

Integrare per rette orizzontali o verticali 31/10/2012 14:48 #37416

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Ciao peppe30, l'esercizio che proponi si può risolvere in entrambi i modi. Per verticali s'intende che il dominio si lascia esprimere in questo modo:

D=\{(x,y)\ :\ a<x<b,\ h(x)<y<k(x)\}

dove h e k sono funzioni continue definite in (a,b)

e l'integrale diventa iterato

\iint_{D}f(x,y)dxdy= \int_{a}^{b}\int_{h(x)}^{k(x)}f(x,y)dydx

Si può risolvere per orizzontali quando il dominio si lascia esprimere come:

D=\{(x,y)\ :\ c<y<d,\ s(y)<x<t(y)\}

dove s e t sono funzioni continue in (c,d)

L'integrale diventa iterato:

\iint_{D}f(x,y)dx dy= \int_{c}^{d}\int_{s(y)}^{t(y)}f(x,y)dx dy


Il dominio di integrazione, nel nostro caso, è un triangolo rettangolo di vertici (0,0), (2,0), (0,2)

L'esercizio ce lo propone già in forma normale rispetto all'asse X:

dominiodiintegrazione.png


Quindi l'integrale si scrive come:

\int_{0}^{2}\int_{0}^{2-x}(x-2y)dy dx =-\frac{4}{3}

Possiamo esprimere il dominio in modo che sia normale rispetto ad Y. Per prima cosa, dalla equazione:

y=2-x

determiniamo x:

x=2-y

Il dominio si riscrive come:

D=\{(x,y)\ :\ 0<y<2,\ 0<x<2-y\}

Perché la variabile x è costretta a variare tra x=0 e la retta x=2-y (è chiaro anche geometricamente)

dominiodiintegrazione2.png

L'integrale diventa quindi:

\int_{0}^{2}\int_{0}^{2-y}(x-2y)dx dy=-\frac{4}{3}

I risultati non cambiano.
Ringraziano: Omega, matteo, peppe30, CarFaby, Iusbe, mattia.manzi, Nick.93, @ngel

Integrare per rette orizzontali o verticali 31/10/2012 14:51 #37417

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Ciao Peppe30,

riguardo all'integrale doppio, la riscrittura del dominio di integrazione per rette verticali o orizzontali consiste nell'esprimere il dominio mediante una coppia (o più coppie) di disequazioni in cui una variabile (pippo) ha estremi di variabilità dipendenti dall'altra variabile (pluto), mentre l'altra variabile (pluto) ha estremi di integrazione liberi - espressi cioè come valori numerici.

Non sempre si può riscrivere un dominio piano disaccoppiando le variabili in entrambi i modi, in ogni caso si parla di:

- integrazione per rette (o linee, o fili) verticali quando si lascia la variabile x ad estremi liberi e si vincolano gli estremi di integrazione di y alla variabile x;

- integrazione per rette (o linee, o fili) orizzontali quando si lascia la variabile y ad estremi liberi e si vincolano gli estremi di integrazione di x alla variabile y.

La scelta del tipo di integrazione impone un ordine preciso di integrazione, l'idea è sempre quella di integrare per ultima la variabile che è da integrare tra estremi liberi. Nel caso dell'esempio proposto, la forma in cui è scritto il dominio ci impone di integrare per rette verticali, prima rispetto a y poi rispetto x.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, peppe30, Iusbe
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