Integrale doppio sul primo quadrante

Prima di postare leggi le regole del Forum.

Integrale doppio sul primo quadrante 09/09/2012 19:43 #30906

  • Godric
  • avt
  • Offline
  • Cerchio
  • Messaggi: 78
Ho provato a calcolare questo integrale doppio sul primo quadrante:

\int\int{xy e^{-\sqrt{x^2+y^2}} dxdy}

dove il dominio di integrazione è, per l'appunto, il primo quadrante del piano cartesiano.

Praticamente sono fermo. Non saprei che fare sinceramente :(
Io penso che sia x>0 e y>0 il dominio, ma gli estremi di integrazione non capisco quali sono. Che devo mettere infinito? E poi come svolgo?

Grazie ancora!
 
 

Re: Integrale doppio sul primo quadrante 09/09/2012 23:33 #30942

  • Ifrit
  • avt
  • Offline
  • Ambasciatore
  • Messaggi: 6573
Ciao Godric,

il dominio di integrazione è:

D:= \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x>0, y>0\right\}

Fissiamo un numero reale positivo R e consideriamo la parte del piano cartesiano

D_R= \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x>0, y>0,x^2+y^2<R^2\right\}

dominiodiintegrazione_2012-09-10.png

Il trucco è passare alle coordinate polari:

\begin{cases}x= r\cos(t)\\ y= r\sin(t)\end{cases}

con t\in\left[0, \frac{\pi}{2}\right],\ 0<r<R

Lo Jacobiano della trasformazione è ovviamente r.

L'integrale da risolvere è quindi:

\\ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{R}r^3e^{r}\cos(t)\sin(t)dr dt=\\ \\ = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(t)\sin(t)dt \int_{0}^{R}r^3 e^{-r}dr=

Ora

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(t)\sin(t)dt=\left[-\frac{\cos^2(t)}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{2}

Mentre

\\ \int_{0}^{R}r^3 e^{-r}dr=[-e^{r}(6+6r+3r^2+r^3)]_{0}^{R}=\\ \\ = 6-e^{-R}(6+6 R+3 R^2+R^3)

Dunque l'integrale sulla porzione considerata è

\\ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(t)\sin(t)dt \int_{0}^{R}r^3 e^{-r}dr=\\ \\ \\ =\frac{1}{2}\left( 6-e^{-R}(6+6 R+3 R^2+R^3)\right)

Adesso fai tendere a più infinito R e otterrai il valore dell'integrale:

\\ \iint_{D}x y e^{-\sqrt{x^2+y^2}}dx dy= \lim_{R\to \infty}\frac{1}{2}\left( 6-e^{-R}(6+6 R+3 R^2+R^3)\right)=\\ \\ \\ = \frac{6}{2}= 3

Intuitivamente, quando R tende a più infinito l'insieme D_R coincide con l'insieme di integrazione originale.


PS: ti consiglio di dare un'occhiata alle schede di esercizi sugli integrali doppi.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, 904, CarFaby

Re: Integrale doppio sul primo quadrante 10/09/2012 16:34 #31043

  • Godric
  • avt
  • Offline
  • Cerchio
  • Messaggi: 78
Quando fai l'integrale di

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(t)\sin(t)dt=\left[-\frac{\cos^2(t)}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{2}

hai fatto un errore di scrittura sul coseno oppure è proprio così?

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(t)\sin(t)dt=\left[\frac{\sin^2(t)}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{2}

Questo procedimento non lo capisco, potresti spiegarmelo se non chiedo troppo?

\\ \int_{0}^{R}r^3 e^{-r}dr=[-e^{r}(6+6r+3r^2+r^3)]_{0}^{R}=\\ \\ = 6-e^{-R}(6+6 R+3 R^2+R^3)

grazie!

Re: Integrale doppio sul primo quadrante 10/09/2012 16:59 #31047

  • Ifrit
  • avt
  • Offline
  • Ambasciatore
  • Messaggi: 6573
Per quanto riguarda il primo integrale, vanno bene entrambi i metodi.

Per il secondo integrale devi integrare per parti.

\\ \int_{0}^{R}r^3 e^{-r}dr=\\ \\ f(r)= r^3\implies f'(r)= 3r^2\\ \\ g'(r)= e^{-r}\implies g(r)= -e^{-r}

Per la formula di integrazione per parti:

\int_0^R r^3 e^{-r}dr=[-r^3e^{-r}]_0^R+\int_0^R 3r^2e^{-r}dr

Devi ora procedere per parti altre due volte prendendo come fattore finito 3 r^2 e come fattore differenziale e^{-r}.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby
  • Pagina:
  • 1
Os