Formula di Gauss Green applicazioni

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Formula di Gauss Green applicazioni 23/06/2012 19:35 #24742

  • Kwisatz
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Buonasera, vorrei dei chiarimenti sulla formula di Gauss-Green, è l'ultimo argomento che mi manca prima dell'esame di Lunedì. In teoria non mi pare tanto impossibile, ma vedendo gli esempi di 3 libri diversi resto solo più confuso.

Vorrei sapere quindi quand'è che devo usare questa formula.

In molti esercizi ho visto che mi chiedono l'area di campi vettoriali vari e variegati, che a quanto ho capito, tramite gauss green, posso ricondurmi a integrali curvilinei considerando il bordo del dominio del campo vettoriale come la curva sulla quale parametrizzare il campo e ricondurmi al caso dell'integrale di linea.

Ora, la tipologia degli esercizi che è in rete, senza soluzioni altrimenti non sarei qui, della mia prof, è diciamo inversa a quelli trovati online. Ossia la prof parte da un campo vettoriale e definisce la curva del bordo del dominio, per poi chiedermi quindi l'integrale curvilineo.

Ora, io istintivamente partirei facendo un integrale di linea di seconda specie senza neanche utilizzare gauss green, dato che per definire il dominio rispetto a y e rispetto a x potrei solo complicarmi la vita. Ma magari mi sfugge qualcosa di più intimo di questo, a quanto pare, fondamentale teorema.

Vi trascrivo un esempio di esercizio. Se riusciste a rispondermi esaurientemente entro domani in orario umano ve ne sarei infinitamente grato!

Dato il campo vettoriale

F(x, y)= \left(\frac{e^x}{\sqrt{1+x^2}}, 0\right)

e la curva gamma, bordo dell'insieme

D=\{(x,y)\in \mathbb{R}: 0<x<1, \sinh(x)<y<\sinh(1 )\}

orientata in verso antiorario, si calcoli l'integrale di linea di F(x,y) lungo gamma.

Grazie mille in anticipo!
 
 

Re: Formula di Gauss Green applicazioni 24/06/2012 12:44 #24785

  • Ifrit
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Ciao Kwisats emt

Abbiamo il campo vettoriale:

F(x, y)= \left(\frac{e^x}{\sqrt{1+x^2}}, 0\right)

e l'insieme:

D=\{(x,y)\in \mathbb{R}: 0<x<1, \sinh(x)<y<\sinh(1 )\}

Geometricamente l'insieme D è:

dominio2.png


Il bordo è facilmente determinabile

\partial D=\gamma_1\cup\gamma_2\cup\gamma_3

Dove:

\gamma_1=(1-t, \sinh(1))\qquad t\in [0, 1]

\gamma_2=(0, \sinh(1)(1-t))\qquad t\in [0, 1]

\gamma_3=(t, \sinh(t))\qquad t\in [0,1]

L'orientazione è quella richiesta dall'esercizio:


dominio3.png



Di conseguenza:

\int_{\partial D} F= \int_{\gamma_1}F+\int_{\gamma_2}F+\int_{\gamma_3}F

Utilizzando il teorema di Green:

\int_{\partial D} f= \iint \left(\frac{\partial F_2(x,y)}{\partial x}- \frac{\partial F_1(x,y)}{\partial y}\right)dxdy

Osserva che:

\frac{\partial F_2(x,y)}{\partial x}=0

così come:

\frac{\partial F_1(x,y)}{\partial y}=0

pertanto l'integrale al secondo membro è zero. Se provi a calcolare gli integrali di linea di seconda specie, ti accorgerai che i conti sono più laboriosi, ecco perché in questo caso è conveniente il teorema di Green emt
Ringraziano: xavier310, CarFaby, Cioci, robhell
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