Integrale doppio su dominio compreso tra circonferenza e iperbole equilatera

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Integrale doppio su dominio compreso tra circonferenza e iperbole equilatera 06/06/2012 15:08 #22036

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Ciao ragazzi, chi mi darebbe un'illuminazione su questo integrale doppio di una funzione di due variabili su un dominio compreso tra una circonferenza e un'iperbole equilatera? (non me ne esco sugli intervalli di integrazione)

\int_{A}{xy dx dy}

dove A è la parte del primo quadrante del piano cartesiano compresa tra la circonferenza di equazione x^2+y^2=29 e l'iperbole di equazione y=\frac{10}{x}.
 
 

Integrale doppio su dominio compreso tra circonferenza e iperbole equilatera 06/06/2012 15:40 #22041

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Ciao I.Chirulli! emt

E' giunta l'ora di Analisi 2, a quanto pare...emt

Vediamo un po' come calcolare l'integrale doppio che proponi: l'integrale va calcolato sul dominio compreso tra le due curve di cui sono note le equazioni

x^2+y^2=29

vale a dire la circonferenza di centro l'origine degli assi e raggio pari a \sqrt{29}, e

y=\frac{10}{x}

vale a dire un'iperbole equilatera con asintoti gli assi cartesiani.

Disegnare le due curve non è difficile: teniamo presente che il dominio di integrazione è la regione piana contenuta nel primo quadrante, per cui dopo aver fatto il disegno ci servono le coordinate esatte dei punti di intersezione. Per trovarle è sufficiente mettere a sistema le due equazioni

\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=29\\ y=\frac{10}{x}\end{matrix}

e risolvere il sistema, ad esempio procedendo per sostituzione. In questo modo si passa ad un'equazione di quarto grado in una delle due variabili (a tua scelta!) ad esempio in x che puoi risolvere sostituendo t=x^2 e riconducendola ad una classica equazione di secondo grado.

Alla fine si trovano come punti di intersezione

(2,5),(5,2),(-2,-5),(-5,-2)

a noi interessano solamente i punti contenuti nel primo quadrante

(2,5),(5,2)

Ora si tratta di esprimere la regione di piano considerata mediante due disequazioni, una per ciascuna variabile. Una delle due disequazioni dovrà presentare estremi vincolati dall'altra variabile, mentre l'altra disequazione dovrà presentare estremi liberi.

Fissiamo l'intervallo di ascisse con estremi liberi e consideriamo l'intervallo di variabilità per le ordinate ragionando su rette verticali

2\leq x\leq 5

Prendendo un qualsiasi valore x_0\in [2,5] e considerando la retta verticale x=x_0 si vede che le ordinate possono variare tra l'ordinata corrispondente all'iperbole equilatera

y=\frac{x}{10}

e l'ordinata corrispondente alla circonferenza. Come possiamo esprimere questa ordinata? Invertendo l'equazione della circonferenza in favore di y troviamo due rami della curva, che corrispondono alle semicirconferenze contenute rispettivamente nel semipiano delle ordinate negative e nel semipiano delle ordinate positive

y=\pm\sqrt{29-x^2}

Ci interessa la semicirconferenza ad ordinate positive, che ci fornisce l'ascissa richiesta

y=+\sqrt{29-x^2}

L'intervallo di variabilità delle ordinate è dato quindi da

\frac{x}{10}\leq y \leq \sqrt{29-x^2}

e le precedenti osservazioni ci permettono di riscrivere l'integrale nella forma

\int_{2}^5{\int_{\frac{10}{x}}^{\sqrt{29-x^2}}{xy dy}}dx}

Lascio a te il calcolo dell'integrale, ma se dovessi avere dubbi non esitare a chiedere emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, i.chirulli

Integrale doppio su dominio compreso tra circonferenza e iperbole equilatera 06/06/2012 15:47 #22045

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Ciao I.chirulli emt

Geometricamente l'insieme di integrazione è:

Integraledoppio2.png


Per prima cosa determiniamo i punti di intersezione:

\begin{cases}x^2+y^2=29\\ y=\frac{10}{x}\end{cases}

Procediamo per sostituzione:

x^2+\frac{100}{x^2}=29\iff x^4+100=29x^2

Da cui:

x^4-29x^2+10=0

è una biquadratica, ponendo t= x^2 l'equazione si riduce:

t^2-29t+100=0

Calcoliamo il discriminante:

\Delta=441\implies \sqrt{\Delta}=21

Le soluzioni in t sono:

t_1= \frac{29-21}{2}=4

t_2= \frac{29+21}{2}= 25

Ma t= x^2 di conseguenza dobbiamo risolvere le equazioni:

x^2=4\iff x=\pm 2

la soluzione negativa è da scartare. L'unica accettabile è x=2, sostituendo nella equazione y=\frac{10}{x} otteniamo il corrispettivo valore di y:

y= \frac{10}{2}= 5

Il punto di intersezione che fa parte del primo quadrante è:

(2, 5)

L'altra equazione è

x^2=25\iff x= \pm 5 anche in questo caso la soluzione negativa è da scartare.

x= 5

Il corrispettivo valore di y è:

y= \frac{10}{5}=2

Il secondo punto è:

(5, 2)

Grazie a queste informazioni sappiamo che 2\le x\le 5 mentre

\frac{10}{x}\le y\le \sqrt{29-x^2}. Il dominio di integrazione si esprime come:

D:=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x\in [2, 5],\,\,\, \frac{10}{x}\le y\le \sqrt{29-x^2}\right\}

L'integrale da svolgere è:

\int_{2}^{5}\int_{\frac{10}{x}}^{\sqrt{29-x^2}}x y\,\,dy dx

Prova a farlo, non è difficile emt Se però hai problemi, di qualsiasi tipo sai cosa fare emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, i.chirulli

Integrale doppio su dominio compreso tra circonferenza e iperbole equilatera 06/06/2012 15:48 #22047

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Ghghghghghghghghghhghghghghghghhghghghghghgh emt emt emt emt emt
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Integrale doppio su dominio compreso tra circonferenza e iperbole equilatera 06/06/2012 15:51 #22048

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Ecco.. Io sto dormendo emt Omega non ti ho visto in fase di risposta emt
Ringraziano: Omega

Integrale doppio su dominio compreso tra circonferenza e iperbole equilatera 06/06/2012 15:53 #22049

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Ero in modalità ninja...emt

E' ficus benjamin il grafico che hai fatto!
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Integrale doppio su dominio compreso tra circonferenza e iperbole equilatera 06/06/2012 15:54 #22050

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non dovrò esserecausa di un vostro litigio vero? emt
emt emt emt
grazie ancora ragazzi siete grandi emt
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Re: Integrale doppio su dominio compreso tra circonferenza e iperbole equilatera 06/06/2012 15:56 #22052

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Mannò che scherzi?! emt E' impossibile litigare con Omega, è così mansueto!! emt
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Re: Integrale doppio su dominio compreso tra circonferenza e iperbole equilatera 06/06/2012 16:06 #22057

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emt emt emt

Piuttosto che litigare con Ifrit entro in Politica (e io detesto la Politica...italiana)emt
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