Integrale doppio, correzione dello svolgimento

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Integrale doppio, correzione dello svolgimento 05/06/2012 18:25 #21936

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Ciao a tutti il seguente integrale doppio che ho svolto, ma il risultato che ho ottenuto non coincide con quello del libro, potreste darmi una mano con la correzione dello svolgimento?

\int_D\int \frac{1}{(x+y+2)^2}dxdy

Con

D=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 : 1\leq x\leq 2 , 0\leq y \leq \frac{1}{x}\}

Il mio modo di procedere per calcolare l'integrale doppio è stato il seguente :

\int_{1}^{2}\left(\int_{0}^{\frac{1}{x}}\frac{1}{(x+y+2)^2}\right)dy

poi ho calcolato

\int_{1}^{2}\left[-\frac{1}{(x+y+2)}\right]_{0}^{\frac{1}{x}dy

ok poi

\int_{1}^{2} \left( -\frac{1}{x+\frac{1}{x}+2}+\frac{1}{x+2}\right)dx

che risolto non coincide con il risultato dell'integrale doppio, potete dirmi dove ho sbagliato?

Grazie
 
 

Integrale doppio, correzione dello svolgimento 05/06/2012 19:07 #21943

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Ciao 904, fino a qui il procedimento è perfetto.

Una volta arrivati a:

\int_{1}^{2}-\frac{1}{x+\frac{1}{x}+2}+\frac{1}{x+2}dx=

Spezziamo l'integrale come somma di integrali:

\int_{1}^{2} -\frac{1}{x+\frac{1}{x}+2}dx+\int_{1}^{2}\frac{1}{x+2}dx=

Il secondo integrale è immediato:

\int_{1}^{2}\frac{1}{x+2}dx= \left[\ln|x+2|\right]_{1}^{2}=

= \ln(4)-\ln(3)


Il primo integrale deve essere prima manipolato algebricamente così da scrivere diversamente la funzione integranda:

\int_{1}^{2}-\frac{1}{x+\frac{1}{x}+2}dx=

\int_{1}^{2}-\frac{1}{\frac{x^2+2x+1}{x}}dx=

\int_{1}^{2}-\frac{x}{x^2+2x+1}dx=

Moltiplichiamo e dividiamo per 2

-\frac{1}{2}\int_{1}^{2}\frac{2x}{x^2+2x+1}dx=

(ho portato il segno fuori dal simbolo di integrazione)

Aggiungiamo e sottraiamo 2 al numeratore:


-\frac{1}{2}\int_{1}^{2}\frac{2x+2-2}{x^2+2x+1}dx=

Spezziamo la frazione:


-\frac{1}{2}\int_{1}^{2}\frac{2x+2}{x^2+2x+1}-\frac{2}{x^2+2x+1}dx=

Spezziamo l'integrale come somma di integrali:

-\frac{1}{2}\left(\int_{1}^{2}\frac{2x+2}{x^2+2x+1}-\int_{1}^{2}\frac{2}{x^2+2x+1}dx\right)=

Il primo integrale è del tipo:

\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx= \ln|f(x)|+c

\int_{1}^{2}\frac{2x+2}{x^2+2x+1}= \left[\ln|x^2+2x+1|\right]_{1}^{2} =

=\ln(9)-\ln(4)

mentre:

\int_{1}^{2}\frac{2}{x^2+2x+1}dx=

= 2\int_{1}^{2}\frac{1}{(x+1)^2}dx=

=2\int_{1}^{2}(x+1)^{-2}dx

L'integrale si presenta nella forma:

\int f'(x)[f(x)]^{\alpha}dx=\begin{cases}\frac{[f(x)]^{\alpha+1}}{\alpha+1}&\mbox{ se }\alpha\ne -1\\ \ln|f(x)|&\mbox{ se }\alpha=-1\end{cases}+c



=2\int_{1}^{2}(x+1)^{-2}dx= 2\left[\frac{(x+1)^{-2+1}}{-2+1}\right]_{1}^{2}=

=\left[-\frac{2}{x+1}\right]_{1}^{2}=\left(-\frac{2}{3}+1\right)= \frac{1}{3}

Di conseguenza:


\int_{1}^{2}-\frac{1}{x+\frac{1}{x}+2}+\frac{1}{x+2}dx=

\ln(4)-\ln(3)-\frac{1}{2}(\ln(9)-\ln(4))+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=

\frac{1}{6}+\ln\left(\frac{4}{3}\right)-\frac{\ln(\frac{9}{4})}{2}=

\frac{1}{6}+\ln\left(\frac{4}{3}\right)-\ln\left(\frac{3}{2}\right)=

\frac{1}{6}+\ln\left(\frac{\frac{4}{3}}{\frac{3}{2}}\right)=

\frac{1}{6}+\ln\left(\frac{8}{9}\right)
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Integrale doppio, correzione dello svolgimento 05/06/2012 19:12 #21945

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Ecco, ora credo che i conti siano corretti, se hai domande sono qui.

NOTE: Ho utilizzato in modo massiccio le proprietà dei logaritmi! emt
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Re: Integrale doppio, correzione dello svolgimento 05/06/2012 20:33 #21961

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Grazie mille sono stati miei errori di calcolo allora

Re: Integrale doppio, correzione dello svolgimento 17/11/2014 17:14 #71567

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Ifrit ha scritto:


Il primo integrale deve essere prima manipolato algebricamente così da scrivere diversamente la funzione integranda:

\int_{1}^{2}-\frac{1}{x+\frac{1}{x}+2}dx=

\int_{1}^{2}-\frac{1}{\frac{x^2+2x+1}{x}}dx=

Buonasera mi intrometto un attimo nella risoluzione di questo integrale!

Mi sembra che tu abbia fatto un errore e abbia trasformato un 2 a denominatore in un 1, cambiando cosi il risultato dell'integrale! O sbaglio io?

Infatti a me viene

\int-\frac{x}{x^2+2x+2}

Re: Integrale doppio, correzione dello svolgimento 17/11/2014 18:03 #71578

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Ciao!

Purtroppo o per fortuna, a seconda dei punti di vista, sbagli tu emt

x+\frac{1}{x}+2=\frac{x^2+1+2x}{x}=\frac{x^2+2x+1}{x}

non dimenticare che la somma gode della proprietà commutativa... emt
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