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Calcolo massimi e minimi assoluti di una funzione di due variabili in un triangolo
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Ripetizioni di Matematica online

Calcolo massimi e minimi assoluti di una funzione di due variabili in un triangolo

Calcolo massimi e minimi assoluti di una funzione di due variabili in un triangolo 18/04/2012 18:29 #14944

  • domeniconapoli
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Ciao ragazzi, devo risolvere un problema di massimi e minimi in due variabili con vincolo dato da un triangolo: determinare il minimo il massimo assoluto nel triangolo T di vertici (0,0)\ ,\ (1,0)\ ,\ (0,1) per la funzione

f(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2+1}

Non so proprio come impostarla per svolgerla, vi ringrazio per l'aiuto che mi avete dato e per le eventuali risposte!
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ly

 

Re: Calcolo massimi e minimi assoluti di una funzione di due variabili in un triangolo 19/04/2012 04:36 #14986

  • Ifrit
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Ok iniziamo:

Prima di tutto osserviamo che l'insieme considerato è un compatto perché chiuso e limitato. La funzione è continua in tale insieme e quindi per il teorema di Weierstrass abbiamo assicurata l'esistenza dei punti di massimo e di minimo assoluti.

Seguiamo le indicazioni fornite nelle guide:

- sui massimi e minimi in due variabili
- sui massimi e minimi vincolati


Passo 1 Studiamo i massimi e minimi relativi della funzione che sono interni all'insieme.


Possiamo determinare i punti critici con il metodo classico (Gradiente-Hessiano). Calcoliamo le derivate parziali del primo ordine:

f_x(x, y)=-\frac{2x}{(1+x^2+y^2)^2}

f_y(x, y)=-\frac{2y}{(1+x^2+y^2)^2}


Impostiamo il sistema:

\begin{cases}f_x(x, y)=0\\ f_y(x,y)=0\end{cases}\iff \begin{cases}-\frac{2x}{(1+x^2+y^2)^2}=0\\ -\frac{2y}{(1+x^2+y^2)^2}=0\end{cases}

Risolvendo il sistema otteniamo un unico punto:

P(0,0) ma attenzione, questo punto non è interno al triangolo ma è di frontiera. Rigorosamente parlando, il test Gradiente-Hessiano fallisce perché funge quando siamo sotto le ipotesi del teorema di Fermat in più variabili.

Possiamo asserire quindi che il punto di massimo e di minimo non sono punti interni al triangolo, si trovano necessariamente agli estremi.

Passo 2: Studio dei punti critici associati alla funzione sui lati (o sui punti di frontiera).

Restrizione sul lato AB

Abbiamo A=(0,0) B=(1,0)

Per tutti i punti che stanno sul lato AB, hanno ordinata nulla, cioè y=0

Definiamo quindi:

g(x)=f(x, 0)=\frac{1}{x^2+1}\quad x\in [0,1]

Abbiamo ottenuto una funzione che dipende esclusivamente dalla variabile x, quindi procediamo con il metodo per la ricerca dei massimi e minimi in una variabile. Deriviamola:

g'(x)=-\frac{2x}{(1+x^2)^2}\quad x\in (0,1)

La derivata prima non si annulla mai nell'intervallo considerato. Inoltre lo studio del segno della derivata è immediato perché al denominatore abbiamo un quadrato quindi positivo, al numeratore abbiamo una quantità positiva in (0, 1) quindi il quoziente è positivo, ma il meno davanti ci cambia le carte in tavola. La funzione è decrescente quindi il massimo relativo è per x=0, e il minimo relativo è per x=1

I punti che di massimo o di minimo relativi sono quindi:

P_1(0,0) e P_2(1, 0)

Ora

f(P_1)= 1 (massimo sul lato AB)

f(P_2)=\frac{1}{2} (Minimo sul lato AB)

Restrizione sul lato BC

dove B=(1, 0) mentre C=(0,1)

Scriviamo la retta passante per i due punti y=1-x


Considerando la restrizione h(x)= f(x, 1-x)=\frac{1}{2(x^2-x+1)}\quad x\in [0, 1]

La derivata prima è:

h'(x)= \frac{1-2x}{2(1-x+x^2)^2}\quad x\in (0,1)

Essa si annulla per x=\frac{1}{2}, procediamo con lo studio del segno:

h'(x)>0\iff 0<x<\frac{1}{2}

h'(x)<0 \iff \frac{1}{2}<x<1

Il punto x= \frac{1}{2} è di massimo relativo per la funzione, e vale:

h(1/2)=\frac{2}{3}

Il minimo si trova necessariamente agli estremi:

h(0)=\frac{1}{2}\,\,\,\,\, h(1)=\frac{1}{2}


I punti P_3(0,1) e P_4(1, 0) sono punti di minimo relativi, i minimi valgono entrambi 1/2, il punto P_5(1/2,1/2) è un punto di massimo relativo, il massimo è:

f(P_5)=\frac{2}{3} (non può essere massimo assoluto, nel passaggio precedente abbiamo trovato un massimo relativo più grande.)

Restrizione sul lato CA

I punti che stanno su questo lato hanno l'ascissa nulla mentre l'ordinata è un valore compreso nell'intervallo [0,1]

Consideriamo la funzione

k(y)=\frac{1}{1+y^2}

Osserva che in pratica è la funzione g, con y al posto di x, quindi puoi riciclare i passaggi


Una volta trovati tutti i punti di massimo e di minimo relativi, confronta i massimi e i minimi relativi, di questi prendi il più grande (sarà il massimo assoluto) e il più piccolo, (sarà il minimo assoluto)

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Re: Calcolo massimi e minimi assoluti di una funzione di due variabili in un triangolo 19/04/2012 17:41 #15048

  • domeniconapoli
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mi trovo grazie di tutto
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Re: Calcolo massimi e minimi assoluti di una funzione di due variabili in un triangolo 22/04/2014 17:31 #63220

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Ifrit ha scritto:

Per tutti i punti che stanno sul lato AB, hanno ordinata nulla, cioè y=0

Definiamo quindi:

g(x)=f(x, 0)=\frac{1}{x^2+1}\quad x\in [0,1]

Abbiamo ottenuto una funzione che dipende esclusivamente dalla variabile x, quindi procediamo con il metodo per la ricerca dei massimi e minimi in una variabile. Deriviamola:

g'(x)=-\frac{2x}{(1+x^2)^2}\quad x\in (0,1)

La derivata prima non si annulla mai nell'intervallo considerato. Inoltre lo studio del segno della derivata è immediato perché al denominatore abbiamo un quadrato quindi positivo, al numeratore abbiamo una quantità positiva in (0, 1) quindi il quoziente è positivo, ma il meno davanti ci cambia le carte in tavola. La funzione è decrescente quindi il massimo relativo è per x=0, e il minimo relativo è per x=1

I punti che di massimo o di minimo relativi sono quindi:

P_1(0,0) e P_2(1, 0)

Ora

f(P_1)= 1 (massimo sul lato AB)

f(P_2)=\frac{1}{2} (Minimo sul lato AB)



Chiamatemi pure tonto ma non ho capito, questo punto. Quello precedente mi è abbastanza chiaro.
Cioè si può chiarire meglio il come si deve calcolare il massimo e il minimo sulla frontiera,
te ne sarei grato.

Grazie mille. (Complimenti per il sito)
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Re: Calcolo massimi e minimi assoluti di una funzione di due variabili in un triangolo 22/04/2014 17:47 #63227

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Ciao madil

Non dobbiamo far altro se non trovare eventuali massimi e minimi della funzione

f(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2+1}

su un segmento ed in particolare sul lato AB, con A(0,0) \ B(1,0)

Tale segmento giace sulla retta y=0, ovvero sull'asse x con la variabile x che varia tra 0 e 1. Per convincertene ti basta fare un disegnino

Ora, possiamo procedere col metodo della parametrizzazione come ampiamente spiegato nella lezione sui massimi e minimi vincolati linkata nella risposta del caro Ifrit

Cioè andiamo a sostituire y=0 nella funzione di partenza così da ottenere la funzione reale di una variabile reale:

g(x)=f(x, 0)=\frac{1}{x^2+1}

con x\in [0,1]

Fatto questo non devi far altro se non trovare massimi e minimi di una funzione in una sola variabile.. Tutto qui
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