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Determinare il numero delle soluzioni di un'equazione non risolubile analiticamente
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Ripetizioni di Matematica online

Determinare il numero delle soluzioni di un'equazione non risolubile analiticamente

Determinare il numero delle soluzioni di un'equazione non risolubile analiticamente 02/02/2012 17:48 #7037

  • annalisa
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Tra i vari esercizi di preparazione all'esame ho un'equzione non risolvibile di cui devo determinare il numero di soluzioni

x^3 - \sqrt{x + 1} = 0

Ho provato a sviluppare l'equazione (x^3)^2 = x+1, ovvero x^6 - x + 1 = 0 però sono al punto di partenza.

Se faccio la derivata del primo membro dell'equazione di partenza ottengo

3x^2 - 1/2rad(x+1)

però continuo a non trovare la soluzione. L'esercizio mi dice anche che nell'intervallo [1,2] c'è una soluzione x=alfa. In effetti usando il calcolatore automatico per le equazioni online ottengo la soluzione 1,13472, però devo risolverla con metodi canonici!

Non riesco a capire che proseguimenti è possibile seguire!
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Determinare il numero delle soluzioni di un'equazione non risolubile analiticamente 02/02/2012 18:22 #7043

  • frank094
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Ciao Annalisa, vediamo come risolvere questo esercizio; sostanzialmente ci si chiede di determinare quante e quali sono le radici dell'equazione

x^3 - \sqrt{x + 1} = 0

La richiesta è analoga al trovare le intersezioni con l'asse delle x, della funzione

f(x) = x^3 - \sqrt{x + 1}

La funzione è definita solo per x \geq - 1 ma a noi dei valori negativi non interessa nulla, perciò andiamo a cercare la soluzione in \mathbb{R}^+.

Per trovare il numero delle soluzioni puoi procedere in due maniere: graficamente e analiticamente. Proviamo a seguire entrambe le strade!

1) Grafico.
Non devi fare altro che disegnare i grafici delle funzioni y(x) = x^3 e y = \sqrt{x + 1} con la maggior precisione possibile e vedere in quanti punti le curve si incontrano. Per farlo puoi fare dei micro studi di funzione o, dato che stiamo considerando funzioni dall'espressione semplice, fare riferimento ai grafici di funzioni elementari e alle regole del grafico intuitivo.

E' ovvio che il metodo è in genere abbastanza approssimativo, ma vista la differenza con cui le due curve crescono è, in questo caso specifico, abbastanza attendibile.

2) Analitico.
E' un metodo sicuramente più divertente perché si basa essenzialmente sulla discussione di come si comporta la funzione.

- Nell'intervallo [0, 1) la funzione è [b]sempre[/b] negativa perché x^3 è sempre minore del secondo termine;
- Nell'intervallo (2, + \infty) la funzione è sempre positiva perché x^3 è sempre maggiore del secondo termine;

Ne risulta che le uniche soluzioni possono trovarsi nell'intervallo [1, 2] ( in accordo con il tuo testo ).
Ma quante sono? Per trovare il numero esatto deriviamo la funzione e vediamo come "cresce" nell'intervallo considerato.

f'(x) = 3x^2 - \frac{1}{2x + 2}

f'(x) = \frac{6x^2(x + 1) - 1}{2x + 2}

f'(x) = \frac{6x^3 + 6x^2 - 1}{2(x + 1)}

Poiché nel suo dominio ( della funzione iniziale, ovviamente ) il denominatore è sempre positivo, dobbiamo discutere solo il numeratore.

f'(x) > 0 \qquad \to \qquad 6x^3 +  6x^2 - 1 > 0

Poiché si tratta di una funzione ( f'(x) ) crescente nell'intervallo [1, 2] sostituendo notiamo che lo è anche f(x).
Il che vuol dire che se c'è una soluzione questa sarà unica, perché è una funzione strettamente crescente ( come potrebbe tornare "indietro"? ).

Per determinare se esiste una soluzione sfruttiamo il teorema degli zeri ( che, per chi non lo ricordasse, enuncio qui sotto ).

Teorema degli zeri di Bolzano: Sia f:[a,b] \to \mathbb{R} una funzione continua tale che

f(a) \cdot f(b)<0

allora esiste almeno un punto x nell'intervallo aperto (a,b) tale che f(x) = 0.

Nel nostro caso troviamo che

f(1) = 1 - \sqrt{2} < 0

f(2) = 8 - \sqrt{3} > 0

perciò l'equazione ammette una radice nell'intervallo (1, 2).

Fin qui è tutto chiaro? Dobbiamo anche trovarne una approssimazione o basta dimostrare la sua esistenza?
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Ringraziano per il messaggio: Omega, Pi Greco, Ifrit, Matchpoint, annalisa

 

Utile?...

 

Determinare il numero delle soluzioni di un'equazione non risolubile analiticamente 02/02/2012 18:32 #7045

  • annalisa
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grazie mille sì è chiaro!
facoltativamente l'esercizio chiederebbe anche il valore approssimato
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Determinare il numero delle soluzioni di un'equazione non risolubile analiticamente 02/02/2012 18:54 #7048

  • frank094
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Bene, troviamo anche il valore approssimato della soluzione.

Possiamo tranquillamente procedere con il metodo della suddivisione degli intervalli fino ad un valore più o meno preciso ( che poi sostanzialmente è il metodo di bisezione ).

Detta \alpha \in [1, 2] la soluzione dell'equazione, possiamo sostituire un valore intermedio e vedere se rimangono soddisfatte le condizioni del teorema di Bolzano ..

f \left( \frac{3}{2} \right) = \frac{27}{8} - \sqrt{2.5} > 0

questo vuol dire che la soluzione adesso si trova nell'intervallo

\alpha \in \left[1, \frac{3}{2}\right]

Prendiamo di nuovo un punto intermedio ..

f \left( \frac{5}{4} \right) = \frac{125}{64} - \sqrt{2.25} > 0

di conseguenza abbiamo che

\alpha \in \left[1, \frac{5}{4}\right]

Per l'ultima volta un valore intermedio ..

f \left( \frac{9}{8} \right) = \frac{729}{512} - \sqrt{2.125} < 0

Ed ecco che otteniamo un intervallo veramente piccolissimo per il calcolo della soluzione approssimativa .. infatti si ha

\alpha \in \left[\frac{9}{8}, \frac{5}{4}\right]

Sapendo che l'errore commesso in tali approssimazioni equivale a

|c_n - \alpha| \leq \frac{b - a}{2^{n + 1}}

dove c_n è il valore del termine intermedio considerato, n è la divisione dell'intervallo numero .. e b - a la differenza fra i due estremi iniziali.
Nel nostro caso si ha

|c_n - \alpha| \leq \frac{1}{2^{n + 1}}

quindi per ottenere fino a due cifre decimali esatte bisogna fare 7 divisioni .. vuoi continuare tu? Ti dico solo che alla settima si ottiene che

c_n = \frac{145}{128} \sim 1,13..

se non ti dovesse riuscire o c'è qualcosa di non chiaro chiedi pure !
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Ringraziano per il messaggio: Omega, Pi Greco, Ifrit

Determinare il numero delle soluzioni di un'equazione non risolubile analiticamente 02/02/2012 19:20 #7057

  • annalisa
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grazie mille credo di aver capito i procedimenti!
ho provato a svolgere esercizi simili
in un esercizio mi è chiesto di determinare il numero delle soluzioni dell'equazione log(x+1) - e^-x = 0
e di verificare che nell'intervallo [0,2] c'è una soluzione x=alfa
intanto pongo x+1>0 ovvero x>-1
la derivata prima risulta y'= (1(x+1)(1) - (-1).e^-z = (1/1+x) + e^-x
sostituendo alla funzione i valori 0 e 2 ottengo:
f(0)= ln 1-1 / e^0 = -1 negativa
f(2) = ln 3-1/ e^2 > 0
ln3>1 mentre 1/e^2<1
quindi c'è una sola soluzione
non so se il mio ragionamento è corretto o meno!

l'altro esercizio è analogo x^2 - 1 - e^-x = 0 intervallo [1,2]
y'=(1/x+1) + e^-x

f(1)=1-1-e^-1=-e^-1<0
f(2)=4-1-e^-1=3-e^-1>0
quindi una soluzione?

è la prima volta che faccio questo tipo di esercizi!!
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Determinare il numero delle soluzioni di un'equazione non risolubile analiticamente 02/02/2012 19:32 #7060

  • frank094
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Dammi qualche ( relativamente ) minuto per controllare ed elaborare una risposta .. intanto ne approfitto per dirti una cosa.

Io ho individuato l'intervallo [1, 2] in seguito a considerazioni che lo lasciavano come unico per la soluzione.
In generale devi lavorare facendo collaborare considerazioni e studio della derivata prima per la crescenza/decrescenza.
Dopo qualche esercizio il procedimento inizierà già ad esserti ovvio e saprai immediatamente come riconoscere l'intervallo giusto e le considerazioni giuste da fare.

Inoltre ho visto che, per il punto che ti chiede di verificare se c'è una soluzione in un dato intervallo compatto, hai applicato il teorema di Bolzano: ben fatto!
Fa però sempre attenzione: tale teorema richiede che la funzione nell'intervallo considerato sia continua.

Allora a fra poco con il primo esercizio !
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Ringraziano per il messaggio: Omega, Pi Greco

Determinare il numero delle soluzioni di un'equazione non risolubile analiticamente 02/02/2012 19:48 #7063

  • frank094
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Vediamo il primo esercizio ..

f(x) = \log{(x + 1)} - e^{-x}

Come prima per il numero di soluzioni posso consigliarti di procedere con il metodo grafico anche se questa volta è richiesta un po' più di precisione visto che la differenza di crescenza non è così elevata!

Soluzione Analitica

La funzione nell'intervallo [ -1, 0) assume valori sempre negativi a causa del logaritmo, che per argomenti tra 0 ed 1 è sempre negativo, e dell'esponenziale che è sempre positivo.
Nell'intervallo (2, + \infty), invece, la funzione risulta essere sempre positiva e maggiore di zero perché il logaritmo è maggiore di 1 mentre l'esponenziale inizia a tendere a 0.

Prima di andare avanti però vorrei dimostrare questa seconda affermazione in maniera un pochino più rigorosa; prendiamo la derivata prima

f'(x) = \frac{1}{x + 1} + e^{-x}

Nell'intervallo che ci interessa è sempre positiva perciò la funzione f(x) è crescente in (2, + \infty).
Adesso andiamo a sostituire l'estremo inferiore

f(2) = \log{(3)} - \frac{1}{e^2} > 0

ma poiché la funzione è crescente allora sicuramente non ci saranno soluzioni nell'intervallo (2, + \infty).

Consideriamo infinite l'intervallo J = [0, 2]: se esistono delle soluzioni, esse si trovano sicuramente all'interno di tale intervallo.
Come già dimostrato la funzione f(x) è crescente anche in J perciò, se c'è una soluzione, essa è unica.
Applicando il teorema di Bolzano come fatto già da te scopriamo che

f(0) = - 1 < 0

f(2) = \log{(3)} - \frac{1}{e^2} > 0

perciò le condizioni sono soddisfatte e possiamo dire che esiste ed è unica

f(\alpha) = 0 \qquad \alpha \in J

Vogliamo provare a trovare una approssimazione anche di questa soluzione?
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Ringraziano per il messaggio: Omega, Pi Greco, Ifrit, annalisa

Determinare il numero delle soluzioni di un'equazione non risolubile analiticamente 02/02/2012 20:47 #7076

  • frank094
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Per quanto riguarda il secondo

f(x) = x^2 - 1 - e^{-x}

se ti chiede solo di verificare che l'equazione ammette soluzioni nell'intervallo [1, 2] allora è sufficiente sostituire e verificare.
Fa solo attenzione ad una cosa: il teorema di Bolzano non dice che esiste una sola soluzione, ma semplicemente che ne esiste almeno una.

Nelle precedenti discussioni sono arrivato a determinarne il numero osservando la crescenza della funzione, non con il solo teorema di Bolzano.

Anche nel caso di questa particolare funzione si può dire che in \mathbb{R}^- non ci sono soluzioni in quanto la funzione esponenziale cresce molto più velocemente rendendo la funzione sempre negativa; verifichiamolo con la derivata prima:

f'(x) = 2x + e^{-x}

Tale funzione è decrescente in \mathbb{R}^- perciò si vede che, dopo aver sostituito x = 0, la funzione f(x) è decrescente in tutto l'insieme dei numeri reali minori di zero.

Per quanto riguarda l'intervallo (2, + \infty) si può fare un discorso analogo considerando che la funzione esponenziale tende a zero e la parabola ad infinito.

Sappiamo quindi che, se ci sono soluzioni, si trovano nell'intervallo [0, 2]. In tale intervallo la funzione è crescente, ragion per cui possiamo dire che se esiste, c'è una sola soluzione.

Il teorema di Bolzano, come già da te applicato, ci dice che esiste una soluzione per cui

f(\alpha) = 0 \qquad \alpha \in [1, 2] \subset [0, 2]

Tutto chiaro ?
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Re: Determinare il numero delle soluzioni di un'equazione non risolubile analiticamente 03/02/2012 19:30 #7219

  • annalisa
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chiarissime tutte le spiegazioni grazie mille
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