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Determinare il numero delle soluzioni di un'equazione non risolubile analiticamente
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Ripetizioni di Matematica online

Determinare il numero delle soluzioni di un'equazione non risolubile analiticamente

Determinare il numero delle soluzioni di un'equazione non risolubile analiticamente 02/02/2012 17:48 #7037

  • annalisa
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Tra i vari esercizi di preparazione all'esame ho un'equazione non risolvibile di cui devo determinare il numero di soluzioni

x^3 - \sqrt{x + 1} = 0


Ho provato a sviluppare l'equazione (x^3)^2=x+1, ovvero x^6 - x + 1 = 0 però sono al punto di partenza.

Se faccio la derivata del primo membro dell'equazione di partenza ottengo

f'(x)=3x^2 - \frac{1}{2\sqrt{x+1}}

però continuo a non trovare la soluzione. L'esercizio mi dice anche che nell'intervallo [1,2] c'è una soluzione x=\alpha.

In effetti usando il calcolatore automatico per le equazioni online ottengo la soluzione 1,13472, però devo risolverla con metodi canonici!

Non riesco a capire che proseguimenti è possibile seguire!
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ly

 

Determinare il numero delle soluzioni di un'equazione non risolubile analiticamente 02/02/2012 18:22 #7043

  • frank094
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Ciao Annalisa, vediamo come risolvere questo esercizio; sostanzialmente ci si chiede di determinare quante e quali sono le radici dell'equazione

x^3 - \sqrt{x + 1} = 0

Per trovare il numero delle soluzioni qui conviene procedere con il metodo grafico, interpretando l'equazione come confronto tra i grafici di due opportune funzioni.

Vediamo come fare.

Riscrivendo l'equazione come

x^3=\sqrt{x+1}

non dobbiamo fare altro che disegnare i grafici delle funzioni y(x) = x^3 e y = \sqrt{x + 1} e vedere in quanti punti le curve si incontrano.

Le ascisse dei punti di intersezione saranno proprio le soluzioni dell'equazione considerata.

In pratica ci basta interpretare l'equazione come un sistema da risolvere con il metodo grafico

\begin{cases}y=x^3\\ y=\sqrt{x+1}\end{cases}

I due grafici sono facili da disegnare: y=x^3 è una potenza di x con esponente dispari, mentre y=\sqrt{x+1} è una radice ad indice pari traslata a sinistra.

Nota che per disegnare i due grafici non è necessario fare due studi di funzione. Dato che stiamo considerando funzioni dall'espressione semplice, fare riferimento ai grafici di funzioni elementari e alle regole del grafico intuitivo.



da cui si deduce che l'equazione ammette un'unica soluzione x=\alpha\in(1,2).


Domanda: dobbiamo anche trovarne una approssimazione o basta dimostrare la sua esistenza?
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Ringraziano per il messaggio: Omega, Pi Greco, Ifrit, Matchpoint, annalisa

 

Utile?...

 

Determinare il numero delle soluzioni di un'equazione non risolubile analiticamente 02/02/2012 18:32 #7045

  • annalisa
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grazie mille sì è chiaro!
facoltativamente l'esercizio chiederebbe anche il valore approssimato
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Determinare il numero delle soluzioni di un'equazione non risolubile analiticamente 02/02/2012 18:54 #7048

  • frank094
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Bene, troviamo anche il valore approssimato della soluzione.

Possiamo tranquillamente procedere con il metodo della suddivisione degli intervalli fino ad un valore più o meno preciso (che poi sostanzialmente è il metodo di bisezione).

Applichiamo il metodo alla funzione

f(x)=x^3-\sqrt{x+1}

Detta \alpha \in [1, 2] la soluzione dell'equazione, possiamo sostituire un valore intermedio e vedere se rimangono soddisfatte le condizioni del teorema degli zeri di Bolzano.

Prima però valutiamo la funzione agli estremi dell'intervallo considerato

f(1)=1-\sqrt{2}<0

f(2)=8-\sqrt{3}>0

Ok, ora consideriamo il punto medio dell'intervallo: x=\frac{3}{2}.

f \left( \frac{3}{2} \right) = \frac{27}{8} - \sqrt{2.5} > 0

questo vuol dire che la soluzione adesso si trova nell'intervallo

\alpha \in \left[1, \frac{3}{2}\right]

Prendiamo di nuovo un punto intermedio ..

f \left( \frac{5}{4} \right) = \frac{125}{64} - \sqrt{2.25} > 0

di conseguenza abbiamo che

\alpha \in \left[1, \frac{5}{4}\right]

Per l'ultima volta un valore intermedio ..

f \left( \frac{9}{8} \right) = \frac{729}{512} - \sqrt{2.125} < 0

Ed ecco che otteniamo un intervallo veramente piccolissimo per il calcolo della soluzione approssimativa .. infatti si ha

\alpha \in \left[\frac{9}{8}, \frac{5}{4}\right]

Sapendo che l'errore commesso in tali approssimazioni equivale a

|c_n - \alpha| \leq \frac{b - a}{2^{n + 1}}

dove c_n è il valore del termine intermedio considerato, n è la divisione dell'intervallo numero .. e b - a la differenza fra i due estremi iniziali.
Nel nostro caso si ha

|c_n - \alpha| \leq \frac{1}{2^{n + 1}}

quindi per ottenere fino a due cifre decimali esatte bisogna fare 7 divisioni .. vuoi continuare tu? Ti dico solo che alla settima si ottiene che

c_n = \frac{145}{128} \sim 1,13..

se non ti dovesse riuscire o c'è qualcosa di non chiaro chiedi pure !
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Ringraziano per il messaggio: Omega, Pi Greco, Ifrit

Re: Determinare il numero delle soluzioni di un'equazione non risolubile analiticamente 03/02/2012 19:30 #7219

  • annalisa
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chiarissime tutte le spiegazioni grazie mille
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