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Capire se nel limite si tende da sinistra o da destra a un valore
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Ripetizioni di Matematica online

Capire se nel limite si tende da sinistra o da destra a un valore

Capire se nel limite si tende da sinistra o da destra a un valore 23/01/2013 11:53 #45386

  • pepe
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Ciao a tutti! Non riesco a capire, nel calcolo dei limiti, come distinguere se la il tendere ad un valore avviene da sinistra o da destra. Il titolo forse non è molto giusto ma non so bene come spiegarmi per cui faccio un esempio..

Se ho:

\lim_{x-> 1^-}\arctan( \frac{x^2-4}{|x^2-x|})

facendo le opportune sostituzioni mi viene {tex}\arctan(-3 / 0 )
{/tex}. Ora la mia domanda è: come faccio a capire se sotto è 0^- o 0^+ ?

Perché questo mi determina se è + o - infinito e quindi se l'arcotangente va a + o - pigreco/2 ... spero di essermi spiegata abbastanza!

Intanto grazie!!
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Re: Capire se nel limite si tende da sinistra o da destra a un valore 23/01/2013 15:52 #45410

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Ciao pepe

Per capire se ci va 0^+ o 0^-, quando x\to 1^{-} è necessario studiare il segno per x<1 dell'elemento |x^2-x|. In questo caso però è evidente che ci va 0^+ questo perché |x^2-x|\ge 0 (la funzione valore assoluto restituisce numeri non negativi).

Ti è chiaro?
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Re: Capire se nel limite si tende da sinistra o da destra a un valore 23/01/2013 16:27 #45413

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mmm sinceramente no non ho capito cosa intendi per studiare il segno per x<1 ... cioè che prendi x<1 ok perchè si va a sinistra..ma poi non ho capito che devo fare
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Re: Capire se nel limite si tende da sinistra o da destra a un valore 23/01/2013 17:10 #45420

  • Ifrit
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Secondo me è meglio ragionare in generale, per prima cosa mettendo in chiaro cosa vuol dire (intuitivamente) la scrittura:

\lim_{x\to x_0^{+}}f(x)= 0^{+}


Vuol dire che quando x tende a x_0 per x> x_0 la funzione f(x) tende a zero per valori più grandi di zero (numeri positivi).

Simmetricamente:

\lim_{x\to x_0^{-}}f(x)= 0^{-}

Vuol dire che quando x tende a x_0 per x<x_0 la funzione f(x) tende a zero per valori più piccoli di zero (numeri negativi).


Poi ovviamente ci sono i casi misti:

\lim_{x\to x_0^{+}}f(x)= 0^{-}

Vuol dire che quando x tende a x_0 per x>x_0 la funzione f(x) tende a zero per valori più piccoli di zero (numeri negativi).


\lim_{x\to x_0^{-}}f(x)= 0^{+}

Vuol dire che quando x tende a x_0 per x<x_0 la funzione f(x) tende a zero per valori più grandi di zero (numeri positivi).

Ora seguimi, perché è fondamentale. Dobbiamo capire se:

\lim_{x\to 1^{-}}|x^2-x|= 0^{+}

oppure

\lim_{x\to 1^{-}}|x^2-x|= 0^{-}


Il trucco consiste nel determinare il segno della funzione |x^2-x|, quindi dovremmo studiare la disequazione con i moduli

|x^2-x|\ge 0\iff x\in\mathbb{R}

questo vuol dire che la funzione è positiva oppure nulla, questo cosa vuol dire? Vuol dire necessariamente che:

\lim_{x\to 1^{-}}|x^2-x|= 0^{+}

Osserva infatti che la funzione |x^2-x| tende a zero per valori positivi (perché positiva) quindi non può assumere valori negativi.

Va meglio ora?
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