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Condizioni di esistenza della base per logaritmi e esponenziali
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Ripetizioni di Matematica online

Condizioni di esistenza della base per logaritmi e esponenziali

Condizioni di esistenza della base per logaritmi e esponenziali 14/01/2013 12:53 #44193

  • Zelot
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Salve a tutti, il mio è un dubbio più che un problema, una sorta di formalità.

Quando in una funzione compaiono esponenziali e logaritmi devo imporre che le loro basi siano diverse da 1? Velo chiedo perché quasi tutti non lo fanno e vorrei capire se devo considerare questa condizione o meno.

Grazie.
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Re: Condizioni di esistenza della base per logaritmi e esponenziali 14/01/2013 15:28 #44211

  • Omega
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Ciao Zelot

Parliamo delle regole per determinare l'insieme di definizione di una funzione qualsiasi nell'articolo del link.

La tua domanda è ambigua, perché soggetta a due possibili interpretazioni:

1) si parla di logaritmi e di esponenziali con base fissata (costante). In tal caso non devi imporre alcuna condizione, dacché una costante è una costante e non una variabile.

2) si parla di logaritmi ed esponenziali con base variabile, ad esempio

2.A) \log_{g(x)}{(f(x))}

2.B) [f(x)]^{g(x)}

Nel caso 2.A) dovrai occuparti delle condizioni standard di esistenza del logaritmo, ossia argomento positivo f(x)>0, e dovrai inoltre richiedere che la base sia POSITIVA e DIVERSA DA 1: g(x)>0\wedge g(x)\neq 1.

Per 2.B), invece, non devi richiedere che la base sia diversa da 1 perché l'esponenziale con base 1 è una funzione ben definita (è una funzione che vale identicamente 1). Devi piuttosto preoccuparti della POSITIVITA' della base, e dunque richiedere che f(x)>0. Per convincersene è sufficiente fare ricorso ad una nota identità

[f(x)]^{g(x)}=e^{\ln{\left[(f(x))^{g(x)}\right]}}=e^{g(x)\ln{[f(x)]}}

e dunque si ricade nel caso standard delle condizioni di esistenza dei logaritmi.
Allenati con i giochi di Matematica e migliora le tue capacità logico-deduttive!
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Ringraziano per il messaggio: Ifrit

 

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