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Integrale con radice quadrata al denominatore
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Integrale con radice quadrata al denominatore

Integrale con radice quadrata al denominatore 06/01/2013 10:05 #43271

  • MateMate
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Ciao, non so come affrontare un integrale indefinito in cui l'integranda è una funzione fratta con una radice al denominatore, mi aiutate?

L'integrale è il seguente:

int [ 1 / (sqrt((4+x^2)^3)) dx]

Grazie in anticipo!
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Integrale con radice quadrata al denominatore 06/01/2013 15:38 #43304

  • Ifrit
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Ciao MateMate

L'integrale è:

\int\frac{1}{\sqrt{(4+x^2)^3}}dx

Puoi procedere tramite sostituzione, ponendo:

x= 2\tan(t)\quad t\in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\implies dx =2\sec^2(t)dt

Sostituiamo nell'integrale:

\int \frac{1}{\sqrt{(4+4\tan^2(t))^3}}\cdot 2\sec^2(t)dt=

Ricorda che:

4+4\tan^2(t)=4\overbrace{(1+\tan^2(t))}^{\sec^2(t)}= 4\sec^2(t)

pertanto:

\int \frac{1}{\sqrt{(4\sec^2(t)))^3}}\cdot 2\sec^2(t)dt=

\int \frac{1}{8\sec^3(t) }\cdot 2\sec^2(t)dt=

semplifica:

\int \frac{1}{8\sec^3(t) }\cdot 2\sec^2(t)dt=

\int \frac{1}{4\sec(t)}dt= \int \frac{\cos(t)}{4}dt=

\frac{1}{4}\int\cos(t)dt= \frac{1}{4}\sin(t)+c

Dalla sostituzione otteniamo che t=\arctan\left(\frac{x}{2}\right)

\int \frac{1}{\sqrt{(4+x^2)^3}}dx= \frac{1}{4}\sin\left(\arctan\left(\frac{x}{2}}\right)\right)+c

A questo punto devi ricordare che:

\sin(\arctan(\alpha))=\frac{\alpha}{\sqrt{1+\alpha^2}}

quindi:

\int \frac{1}{\sqrt{(4+x^2)^3}}dx= \frac{1}{4}\sin\left(\arctan\left(\frac{x}{2}}\right)\right)+c=

=\frac{1}{4}\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{1+\frac{x^2}{4}}}+c=

= \frac{x}{4\sqrt{4+x^2}}+c
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Ringraziano: Omega, Pi Greco

Re: Integrale con radice quadrata al denominatore 07/01/2013 04:10 #43409

  • Ifrit
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Scusami MateMate, ho commesso un errore che ora ho corretto
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Re: Integrale con radice quadrata al denominatore 07/01/2013 12:58 #43460

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Capito, grazie mille
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