Logo

             | 


 

→ Prima di postare leggi come funziona il Forum (linee guida) e come scrivere le formule Wink

 

Benvenuto, Ospite

Metodi per determinare il codominio di una funzione
(1 Online) 

Ripetizioni di Matematica online

Metodi per determinare il codominio di una funzione

Metodi per determinare il codominio di una funzione 23/12/2011 13:01 #3129

  • mery
  • ( Utente )
  • Offline
  • Cerchio
  • Messaggi: 69
  • Monete Matematica: 42
ma se io ho una f del tipo:(x^2 logx^2). Come trovo il codominio se non so tracciare bene il grafico?
L'Argomento è stato bloccato.

 

ly

 

Metodi per determinare il codominio di una funzione 23/12/2011 20:18 #3159

  • Omega
  • ( Amministratore )
  • Offline
  • Amministratore
  • Messaggi: 10683
  • Monete Matematica: 1020423
In questo caso si dovrebbe procedere con il metodo 4), che però ho volontariamente scartato per evitare di confonderti le idee prima del tempo, perché il suo utilizzo richiede molta esperienza analitica. Qui puoi cavartela però con uno studio di funzione ultra-rapido, e guardare il grafico della funzione.
Allenati con i giochi di Matematica e migliora le tue capacità logico-deduttive!
L'Argomento è stato bloccato.

 

Utile?...

 

Metodi per determinare il codominio di una funzione 27/12/2011 11:30 #3237

  • mery
  • ( Utente )
  • Offline
  • Cerchio
  • Messaggi: 69
  • Monete Matematica: 42
Ad esempio?
Tu come procederesti?
L'Argomento è stato bloccato.

 

Metodi per determinare il codominio di una funzione 27/12/2011 11:58 #3239

  • Omega
  • ( Amministratore )
  • Offline
  • Amministratore
  • Messaggi: 10683
  • Monete Matematica: 1020423
Onestamente? Guarderei la funzione, e penserei subito: "Due possibilità: o la studio interamente oppure mi metto a fare il figo e cerco, senza alcuna garanzia di riuscirci ( ), di fare mille peripezie analitiche per trovare il codominio".

Poi penserei: "Nel primo modo ci metto un quarto d'ora, nel secondo modo ci metto un tempo t\in [5,180] dove l'unità di misura è il minuto".

Infine: "Ok: studio la funzione..."

Quindi: studiamo la funzione?
Allenati con i giochi di Matematica e migliora le tue capacità logico-deduttive!
L'Argomento è stato bloccato.

Metodi per determinare il codominio di una funzione 27/12/2011 12:50 #3243

  • mery
  • ( Utente )
  • Offline
  • Cerchio
  • Messaggi: 69
  • Monete Matematica: 42
Ok.
una volta stabilito che lo studio di funzione è la strategia migliore, come procedo?

Calcolo il lim agli estremi del dominio e poi cerco eventuali punti di max e min assoluti?
L'Argomento è stato bloccato.

Metodi per determinare il codominio di una funzione 27/12/2011 13:11 #3246

  • Omega
  • ( Amministratore )
  • Offline
  • Amministratore
  • Messaggi: 10683
  • Monete Matematica: 1020423
Per avere la certezza assoluta, devi effettuare uno studio pressoché completo: dominio, intersezioni e segno, eventuali parità/disparità, limiti e monotonia - vale a dire segno della derivata prima. Puoi naturalmente tralasciare lo studio della derivata seconda e dei punti di flesso. Poi, una volta tracciato il grafico, non devi fare altro che dare un'occhiatina all'asse delle ordinate e controllare quali intervalli sono coperte dalle ordinate della funzione, e il gioco è fatto. Hai il codominio!

La guida cui fare riferimento è questa qui. Se hai difficoltà, fammi sapere, mi metto in stand by.
Allenati con i giochi di Matematica e migliora le tue capacità logico-deduttive!
L'Argomento è stato bloccato.
Ringraziano per il messaggio: frank094

Determinare codominio analiticamente di una funzione razionale fratta con denominatore di 2° grado 12/12/2012 13:56 #42068

  • Dario?
  • ( Utente )
  • Offline
  • Punto
  • Messaggi: 7
  • Monete Matematica: 68
Ciao a tutti ragazzi, scusate l'intromissione ma avrei bisogno di risolvere questo mio dilemma in oggetto...ho cercato in tutto il sito e credo che questa sia l'argomentazione più consona al mio intervento.

Come sopra, avrei bisogno di capire come determinare in modo ANALITICO il codominio di una funzione razionale fratta con denominatore di 2° grado, come ad esempio:

y = x /(x^2-4)

Dal grafico è evidente che, al codominio, appartengono tutti i reali.

Ok, ma svolgendo il tutto in modo analitico, a me risulta che il codominio della suddetta funzione corrisponda a tutti i reali TRANNE LO ZERO, dato che la formula risolutiva "meno B, più o meno radice del delta, fratto DUE A" prevede, appunto, un denominatore e, quindi, vincolato dalla solita condizione "denominatore DIVERSO da 0".

Il sistema che mi viene fuori è formato dalla condizione del radicando (ovvero il \delta )> o = a zero, il quale calcolo risulta impossibile perché non si può calcolare la radice con indice pari di un numero negativo (e da qui l'appartenenza del codominio a tutti i reali), e dalla condizione del denominatore diverso da zero (e da qui la mia soluzione, ovvero: CODOMINIO = TUTTI I REALI tranne ZERO).

Mi mostrereste gentilmente tutti i passaggi analitici (ve li chiedo tutti perché sono un po' duro di comprendonio ...) che dimostrano che il codominio di questa funzione corrisponde a tutti i reali e non, come risulta a me, a tutti i reali tranne lo zero?

Vi ringrazio
L'Argomento è stato bloccato.

Re: Determinare codominio analiticamente di una funzione razionale fratta con denominatore di 2° grado 12/12/2012 15:23 #42076

  • Omega
  • ( Amministratore )
  • Offline
  • Amministratore
  • Messaggi: 10683
  • Monete Matematica: 1020423
Ciao Dario

Il risultato che hai ottenuto con il metodo grafico è corretto: il codominio (inteso come immagine della funzione, ci tengo a sottolinearlo(*)) della funzione è \mathbb{R}.

metodo-grafico-per-limmagine.png


Il metodo analitico è applicabile, solo che è un po' elaborato a causa della presenza del termine quadratico. La funzione y=f(x)=\frac{x}{x^2-4} non è invertibile su tutto il proprio dominio

Dom(f)=(-\infty,-2)\cup(-2,+2)\cup(+2,+\infty)

ma è invertibile solamente effettuando opportune restrizioni del dominio. Dico che è elaborato perché i passaggi algebrici da soli non bastano: va bene applicare la formula del discriminante e va bene osservare che si ottengono due funzioni (a seconda del segno della radice), e che entrambe non sono definite in y=0. L'immagine di f(x) sembrerebbe essere \mathbb{R}-\{0\}, se non avessimo applicato prima il metodo grafico.

Poi, però, con un piccolo controllo ulteriore su y=0 è sufficiente notare che

f(0)=0

e dunque l'immagine di f è \mathbb{R}.

---

Considerazione 1: nel caso considerato è meglio applicare il metodo grafico, piuttosto che il metodo analitico. Il termine quadratico a numeratore complica infatti la lettura dei risultati dei passaggi algebrici.

---

Considerazione 2: se non si ha dimestichezza con limiti e proprietà delle funzioni reali, si procede con il metodo grafico. Con un po' di coraggio e inventiva, invece, vale la pena di procedere con osservazioni di natura analitica, senza sporcarsi troppo le mani con i conti.

f(x)=\frac{x}{x^2-4}

è una funzione continua su (-2,+2). Inoltre

\lim_{x\to (-2)^{+}}{f(x)}=+\infty

\lim_{x\to 2^{-}}{f(x)}=-\infty

(peraltro f considerata come f:(-2,+2)\to \mathbb{R} è biunivoca, ma qui non ci interessa). Concludiamo subito che l'immagine di f ristretta a (-2,+2) è \mathbb{R}, e dunque l'immagine di f definita sul proprio dominio è \mathbb{R}, perché (-2,+2)\subset Dom(f).

---
(*) In termini rigorosi, il nome giusto da utilizzare è immagine e non codominio.

Il codominio di una funzione f:A\to B è Cod(f)=B; l'immagine di una tale funzione è Im(f):=f(A)\subseteq B.
Allenati con i giochi di Matematica e migliora le tue capacità logico-deduttive!
L'Argomento è stato bloccato.
Ringraziano per il messaggio: Pi Greco, Ifrit, Dario?

Re: Determinare codominio analiticamente di una funzione razionale fratta con denominatore di 2° grado 12/12/2012 18:37 #42115

  • Dario?
  • ( Utente )
  • Offline
  • Punto
  • Messaggi: 7
  • Monete Matematica: 68
Grazie per la risposta, gentilissimo.

Quindi per avere una risposta corretta dal procedimento analitico riguardo l'immagine di f(x), bisogna ricondursi ai limiti dato che il dominio non è invertibile giusto?

Io, più che altro, punto molto sul metodo analitico per determinare l'immagine della funzione perché, nel caso di funzioni un po' più complesse, non è per niente facile determinare il grafico e, in sede d'esame, ovviamente, non sono ammessi calcolatori programmabili che ti tracciano i grafici delle funzioni.
In ogni caso, tracciare il grafico anche di funzioni più o meno semplici, richiederebbe più tempo con sostituzioni varie, piuttosto che "invertire" analiticamente la funzione stessa, o mi sbaglio?

É un ragionamento il cui campo di esistenza appartiene ai reali, oppure verrebbe rappresentato meglio da un insieme vuoto?

Grazie ancora...
L'Argomento è stato bloccato.

Re: Determinare codominio analiticamente di una funzione razionale fratta con denominatore di 2° grado 12/12/2012 20:05 #42141

  • Omega
  • ( Amministratore )
  • Offline
  • Amministratore
  • Messaggi: 10683
  • Monete Matematica: 1020423
Dario? ha scritto:
Grazie per la risposta, gentilissimo.

Di nulla, è un piacere!

Quindi per avere una risposta corretta dal procedimento analitico riguardo l'immagine di f(x), bisogna ricondursi ai limiti dato che il dominio non è invertibile giusto?

In generale, non necessariamente: le considerazioni analitiche (che non coincidono con quello che abbiamo chiamato "metodo analitico") dipendono dalla specifica funzione che si considera. Non è possibile stabilire a priori quali siano le osservazioni più comode per determinare l'immagine.

Anche nel caso specifico che hai proposto non è detto che le considerazioni su continuità e limiti siano le uniche sfruttabili. Con buona probabilità, però, sono le più convenienti.

Io, più che altro, punto molto sul metodo analitico per determinare l'immagine della funzione perché, nel caso di funzioni un po' più complesse, non è per niente facile determinare il grafico e, in sede d'esame, ovviamente, non sono ammessi calcolatori programmabili che ti tracciano i grafici delle funzioni.

Non sono d'accordo: in generale hai maggiori probabilità di riuscire a tracciare il grafico di una funzione, piuttosto che cercare di dedurre un'espressione per la funzione inversa o le funzioni "localmente" inverse. Questo perché non tutte le funzioni sono invertibili, e tra quelle invertibili non tutte ammettono un'inversa esprimibile in termini di funzioni elementari.

Il metodo grafico è quello che dà più garanzie in assoluto.

In ogni caso, tracciare il grafico anche di funzioni più o meno semplici, richiederebbe più tempo con sostituzioni varie, piuttosto che "invertire" analiticamente la funzione stessa, o mi sbaglio?

E' vero che il metodo grafico richiede più tempo in molti casi. Ma il tempo è il prezzo da pagare per avere la certezza di portare a termine l'esercizio.

É un ragionamento il cui campo di esistenza appartiene ai reali, oppure verrebbe rappresentato meglio da un insieme vuoto?

Diamogli come insieme di definizione un intervallo finito scelto a piacere...

Grazie ancora...

Sei il benvenuto!
Allenati con i giochi di Matematica e migliora le tue capacità logico-deduttive!
L'Argomento è stato bloccato.
Ringraziano per il messaggio: Ifrit, danying, Dario?
  • Pagina:
  • 1
  • 2
  • 3
Moderatori: Omega, Pi Greco
Tempo generazione pagina: 0.22 "secondi