Integrale definito del seno di 2x, sin(2x)

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Integrale definito del seno di 2x, sin(2x) 09/07/2012 11:32 #27626

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Ciao ragazzi!

Domani ho l'esame di Analisi e sto facendo alcuni esercizi di riepilogo ma come al solito mi sono sorti dei dubbi. Qui non so come calcolare l'integrale definito di sin(2x), cioè del seno di 2x.

Devo calcolare il seguente integrale definito:

\int_{0}^{\pi}{\left(\sin{\left(2x\right)}\right)dx}

L'obiettivo è trovare una primitiva della funzione integranda, per poi valutare la primitiva agli estremi d'integrazione e fare la differenza.

Applico la formula di duplicazione per il seno:

\int_{0}^{\pi}{\left(2\sin{\left(x\right)}\cos{\left(x\right)}\right)dx}=2\int_{0}^{\pi}{\left(\sin{\left(x\right)}\cos{\left(x\right)}\right)dx}

A questo punto direi di integrare per parti ponendo come fattore finito sinx e come fattore differenziale cosx (essendo la derivata di sinx). Ma poi non si trova! Quando applico la formula dell'integrazione per parti mi viene:

2\int_{0}^{\pi}{\left(\left[\sin^{2}{\left(x\right)}-\int{\left(\sin{\left(x\right)}\cos{\left(x\right)}\right)dx}\right]\right)dx}

e dovrei tornare ad integrare per parti allo stesso identico modo!

Non riesco a capire :(
"Le avversità possono essere delle formidabili occasioni".
Thomas Mann
 

Integrale definito del seno di 2x, sin(2x) 09/07/2012 11:48 #27627

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Dovrebbe essere un integrale ricorsivo: scrivi l'uguaglianza tra l'integrale dato e ciò che hai trovato e porta l'integrale del secondo membro (quello uguale a quello di partenza) al primo membro in modo da avere un numero che moltiplica quell'integrale (consideri quest'ultimo come incognita in pratica), il tutto uguale a ciò che resta nel secondo membro.

Dividi per quel numero e hai che quell'integrale è uguale a quella roba che hai calcolato
Ringraziano: MaryADC90

Integrale definito del seno di 2x, sin(2x) 09/07/2012 12:35 #27641

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Io fare in un modo diverso. Utilizzerei l'integrale immediato:

\int\sin[g(x)] g'(x) dx = - \cos[g(x)]+c

Cioè se hai nell'integrale una funzione seno che moltiplica la derivata dell'argomento del seno, la primitiva sarà -coseno con lo stesso argomento del seno.

Ora nel tuo caso la derivata dell'argomento è 2, quindi metto un due vicino al seno e poi fuori dall'integrale divido per 1/2 in modo da non alterare i risultati. Quindi:

\int\sin(2x)dx =\frac{1}{2}\int 2\sin(2x)dx = -\frac{1}{2}\cos(2x)+c

e da qui calcoli l'integrale definito.
Ringraziano: Omega, MaryADC90, CarFaby

Integrale definito del seno di 2x, sin(2x) 09/07/2012 15:55 #27720

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Ciao a tutti!

Totalmente d'accordo con Povi, non serve complicarsi inutilmente la vita...

\int{\sin{(2x)}dx}=\frac{1}{2}\int{\sin{(2x)}\cdot 2dx}=-\frac{1}{2}\cos{(2x)}+c

avendo applicato il teorema di derivazione della funzione composta al contrario.
Ringraziano: povi, MaryADC90, CarFaby

Integrale definito del seno di 2x, sin(2x) 09/07/2012 16:55 #27748

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Grazie mille!
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Thomas Mann

Re: Integrale definito del seno di 2x, sin(2x) 18/01/2015 15:45 #74567

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Chiedo scusa se riesumo una discussione piuttosto vecchia. Ma non sono d'accordo su una cosa, magari sbaglio.

La soluzione proposta credo che sia corretta per l'integrale indefinito, ma il testo era

\int_{0}^{\pi}\sin(2x) dx

Propongo la mia risoluzione, ma ripeto, non so se sbaglio o meno: moltiplico e divido per 2 ottenendo:

\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}2\sin(2x) dx

e quindi

\frac{1}{2}\left [-\cos(2x)\right ]_{0}^{\pi}=\frac{1}{2}\left [-\cos(2\pi)-(-\cos(0))\right ]= \frac{1}{2}\cdot 0 = 0

E' corretto quello che faccio?

Re: Integrale definito del seno di 2x, sin(2x) 18/01/2015 16:09 #74583

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Ciao 69Gigi69,

sì, è corretto, alla fine bastava sostituire gli estremi nel risultato ottenuto da Omega nel messaggio #27720.
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