Integrale definito del seno di 2x, sin(2x)

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Integrale definito del seno di 2x, sin(2x) 09/07/2012 10:32 #27626

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Ciao ragazzi!

Domani ho l'esame di Analisi e sto facendo alcuni esercizi di riepilogo ma come al solito mi sono sorti dei dubbi. Qui non so come calcolare l'integrale definito di sin(2x), cioè del seno di 2x.

Devo calcolare il seguente integrale definito:

\int_{0}^{\pi}{\left(\sin{\left(2x\right)}\right)dx}

L'obiettivo è trovare una primitiva della funzione integranda, per poi valutare la primitiva agli estremi d'integrazione e fare la differenza.

Applico la formula di duplicazione per il seno:

\int_{0}^{\pi}{\left(2\sin{\left(x\right)}\cos{\left(x\right)}\right)dx}=2\int_{0}^{\pi}{\left(\sin{\left(x\right)}\cos{\left(x\right)}\right)dx}

A questo punto direi di integrare per parti ponendo come fattore finito sinx e come fattore differenziale cosx (essendo la derivata di sinx). Ma poi non si trova! Quando applico la formula dell'integrazione per parti mi viene:

2\int_{0}^{\pi}{\left(\left[\sin^{2}{\left(x\right)}-\int{\left(\sin{\left(x\right)}\cos{\left(x\right)}\right)dx}\right]\right)dx}

e dovrei tornare ad integrare per parti allo stesso identico modo!

Non riesco a capire :(
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Thomas Mann
 
 

Integrale definito del seno di 2x, sin(2x) 09/07/2012 14:55 #27720

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Ciao, in realtà l'integrale definito che proponi si risolve abbastanza agevolmente vedendolo come un integrale notevole in forma generale:

\int\sin(f(x))f'(x)dx=-\cos(f(x))+c\mbox{ con }c\in\mathbb{R}

Nell'integrale

\int_{0}^{\pi}{\sin{(2x)}dx}=

manca solo la derivata dell'argomento del seno, ossia 2, per ricondurci all'integrale notevole. Niente paura, è sufficiente moltiplicare e dividere per 2

\\ =\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}{\sin{(2x)}\cdot 2dx}=-\frac{1}{2}\left[\cos{(2x)}\right]_{0}^{\pi}= \\ \\ \\ = -\frac{1}{2}(\cos(2\pi)-\cos(0))=0

La formula di integrazione fondamentale in forma generale proviene dall'applicazione del teorema di derivazione della funzione composta al contrario.
Ringraziano: povi, MaryADC90, CarFaby

Integrale definito del seno di 2x, sin(2x) 09/07/2012 15:55 #27748

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Grazie mille!
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