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Integrale definito del seno di 2x, sin(2x)
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Integrale definito del seno di 2x, sin(2x)

Integrale definito del seno di 2x, sin(2x) 09/07/2012 11:32 #27626

  • MaryADC90
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Ciao ragazzi!

Domani ho l'esame di Analisi e sto facendo alcuni esercizi di riepilogo ma come al solito mi sono sorti dei dubbi. Qui non so come calcolare l'integrale definito di sin(2x), cioè del seno di 2x.

Devo calcolare il seguente integrale definito:

\int_{0}^{\pi}{\left(\sin{\left(2x\right)}\right)dx}

L'obiettivo è trovare una primitiva della funzione integranda, per poi valutare la primitiva agli estremi d'integrazione e fare la differenza.

Applico la formula di duplicazione per il seno:

\int_{0}^{\pi}{\left(2\sin{\left(x\right)}\cos{\left(x\right)}\right)dx}=2\int_{0}^{\pi}{\left(\sin{\left(x\right)}\cos{\left(x\right)}\right)dx}

A questo punto direi di integrare per parti ponendo come fattore finito sinx e come fattore differenziale cosx (essendo la derivata di sinx). Ma poi non si trova! Quando applico la formula dell'integrazione per parti mi viene:

2\int_{0}^{\pi}{\left(\left[\sin^{2}{\left(x\right)}-\int{\left(\sin{\left(x\right)}\cos{\left(x\right)}\right)dx}\right]\right)dx}

e dovrei tornare ad integrare per parti allo stesso identico modo!

Non riesco a capire :(
"Le avversità possono essere delle formidabili occasioni".
Thomas Mann

 

 

Integrale definito del seno di 2x, sin(2x) 09/07/2012 11:48 #27627

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Edit: scusami, ho letto quell'integrale come 1 su quella roba lì...due secondi e te lo riscrivo per bene.

Dovrebbe essere un integrale ricorsivo: scrivi l'uguaglianza tra l'integrale dato e ciò che hai trovato e porta l'integrale del secondo membro (quello uguale a quello di partenza) al primo membro in modo da avere un numero che moltiplica quell'integrale (consideri quest'ultimo come incognita in pratica), il tutto uguale a ciò che resta nel secondo membro. Dividi per quel numero e hai che quell'integrale è uguale a quella roba che hai calcolato
Ringraziano: MaryADC90

Integrale definito del seno di 2x, sin(2x) 09/07/2012 12:05 #27633

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Ah bene... grazie Sharpie!
"Le avversità possono essere delle formidabili occasioni".
Thomas Mann

Integrale definito del seno di 2x, sin(2x) 09/07/2012 12:35 #27641

  • povi
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Io fare in un modo diverso. Utilizzerei l'integrale immediato :

∫ sin[g(x)] g'(x) dx = - cos[g(x)]

cioè se hai nell'integrale una funzione seno che moltiplica la derivata dell'argomento del seno, la primitiva sarà -cos con lo stesso argomento del seno.

Ora nel tuo caso la derivata dell'argomento è 2, quindi metto un due vicino al seno e poi fuori dall'integrale divido per 1/2 in modo da non alterare i risultati. Quindi :

∫sin(2x)dx =1/2 ∫ 2sin(2x) dx = -1/2 cos(2x)

e da qui calcoli l'integrale definito.
Ringraziano: Omega, MaryADC90

Integrale definito del seno di 2x, sin(2x) 09/07/2012 15:55 #27720

  • Omega
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Ciao a tutti

Totalmente d'accordo con Povi, non serve complicarsi inutilmente la vita..

\int{\sin{(2x)}dx}=\frac{1}{2}\int{\sin{(2x)}\cdot 2dx}=-\frac{1}{2}\cos{(2x)}+c

avendo applicato il teorema di derivazione della funzione composta "al contrario".
Allenati con i giochi di Matematica e migliora le tue capacità logico-deduttive!
Ringraziano: povi, MaryADC90

Integrale definito del seno di 2x, sin(2x) 09/07/2012 16:55 #27748

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Grazie Omega...
mi sento molto confusa :( e sono molto preoccupata...
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Thomas Mann

Integrale definito del seno di 2x, sin(2x) 09/07/2012 16:56 #27749

  • Omega
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Non preoccuparti, stai tranquilla. Se ti agiti le probabilità di riuscita si avvicinano esponenzialmente a zero..
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Integrale definito del seno di 2x, sin(2x) 09/07/2012 17:06 #27755

  • MaryADC90
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Lo so ma... ho perso troppo tempo per recuperare le mie lacune ancestrali, e alla fine ho avuto solo 3 settimane per preparare analisi... in questo tempo non era possibile prepararsi adeguatamente, almeno per me... mi preoccupa anche che gli appelli sono distribuiti male, quindi se non lo passo ora mi tocca attendere ottobre per rifarlo! Che cavolo
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Thomas Mann

Integrale definito del seno di 2x, sin(2x) 09/07/2012 17:09 #27757

  • Omega
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Ottobre non deve esistere per te (se si parla di Analisi, beninteso)!
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Integrale definito del seno di 2x, sin(2x) 09/07/2012 17:22 #27761

  • MaryADC90
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Appunto e io sto facendo i capelli bianchi e devo andare avanti con gli esami!
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Thomas Mann
One Shot!
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