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risoluzione di funzioni/equazioni e campo di esistenza
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Ripetizioni di Matematica online

risoluzione di funzioni/equazioni e campo di esistenza

risoluzione di funzioni/equazioni e campo di esistenza 14/05/2012 20:13 #18202

  • federicoverona
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ciao a tutti..questa domanda già avviso che sarà lunga ..non l'ho suddivisa in più discussioni perchè nella mia mente tutto si collega e quindi spero che riusciate a fare un po di chiarore in tutta questa nebbia che mi ofusca le idee

avevo un esercizio che mi chiedeva

il campo di esistenza della funzione f(x)=ln(x^2-4x)+ln(x-3) è

e io l'ho risolta cosi


allora x^2-4x -> ha 2 soluzioni e è positiva per i valori maggiori di 4 e minori di zero
---poi x-3 -> è positiva per i valori maggiori di 3

___________0________3_______4________

++++++++++ - - - - - - - - - ++++++++ x^2-4x >0

--------------------+++++++++++++++ x-3>0
_____________________________________

----------- ++++++++ --------+++++++ C.E -> 0<x<3 U x>4

il risultato se lo confronto con le soluzioni è ESATTO

ma ora vengono le domande (divido ogni domanda con A,B,C ecc per sottolineare le varie sottodomande)

1) "A"quando è che si scelgono i tratti dove risulta +++ e "B"quando i tratti dove risulta --- e "C"invece quando è che si scelgono i tratti comuni (che in questo caso sarebbero stati solo quelli di x>4?

2)"A"nel caso avessimo avuto f(x)=ln(x^2-4x)-ln(x-3) (la differenza sta nel segno meno tra un ln e l'altro) avremo risolto allo stesso modo? "B" scrivere f(x)=ln(x^2-4x)-ln(x-3) equivale a scrivere [ln(x^2-4x)]/ln(x-3) ?

per ora non mi viene in mente altro..ma altri dubbi so che stanno nascendo..ma inutile che metto mille domande..magari con le risposte a queste si chiarisce anche il resto

grazie mille a tutti
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ly

 

Re: risoluzione di funzioni/equazioni e campo di esistenza 14/05/2012 20:14 #18203

  • federicoverona
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a già dimenticavo...cosa cambia nelle domande 1) e 2) nel caso si tratti di equazioni e nel caso si tratta di disequazioni? questa è una questione importante nella mia domanda..infatti il titolo richiamava anche a questo
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Utile?...

 

Re: risoluzione di funzioni/equazioni e campo di esistenza 15/05/2012 04:05 #18261

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Ciao Federicoverona

federicoverona ha scritto:


avevo un esercizio che mi chiedeva

il campo di esistenza della funzione f(x)=ln(x^2-4x)+ln(x-3) è

e io l'ho risolta cosi


allora x^2-4x -> ha 2 soluzioni e è positiva per i valori maggiori di 4 e minori di zero
---poi x-3 -> è positiva per i valori maggiori di 3

___________0________3_______4________

++++++++++ - - - - - - - - - ++++++++ x^2-4x >0

--------------------+++++++++++++++ x-3>0
_____________________________________

----------- ++++++++ --------+++++++ C.E -> 0<x<3 U x>4

il risultato se lo confronto con le soluzioni è ESATTO


Non mi trovo con il risultato del libro :]

Siamo di fronte ad una funzione che è somma di due logaritmi. Essa ha senso se entrambi i logaritmi hanno senso, dobbiamo pretendere che i loro argomenti siano " contemporaneamente " maggiori di zero. In pratica dobbiamo risolvere il sistema di disequazioni:

\begin{cases}x^2-4x>0\\ x-3>0\end{cases}

il sistema ha per soluzione x>4

Il dominio è quindi:

\mbox{dom}(f)=(4, +\infty)

Vediamo perché:

La prima disequazione del sistema ha per insieme soluzione:

S_1:x<0\vee x>4

La seconda disequazione ha per insieme soluzione:

S_2x>3

A questo punto devi intersecare i due insiemi.

S1: __________0..............3.....4_________________
S2: .........................3_____4_________________


Per trovare l'intersezione dobbiamo prendere la parte in cui abbiamo le linee continue in entrambe le righe. Come avevo detto in precedenza devi prendere l'intersezione perché entrambi i logaritmi devono essere definiti.




ma ora vengono le domande (divido ogni domanda con A,B,C ecc per sottolineare le varie sottodomande)

1) "A"quando è che si scelgono i tratti dove risulta +++ e "B"quando i tratti dove risulta --- e "C"invece quando è che si scelgono i tratti comuni (che in questo caso sarebbero stati solo quelli di x>4?



A questa domanda ho risposto prima . Ho l'impressione che tu abbia confuso l'intersezione con lo studio del segno dell'argomento del logaritmo



2)"A"nel caso avessimo avuto f(x)=ln(x^2-4x)-ln(x-3) (la differenza sta nel segno meno tra un ln e l'altro) avremo risolto allo stesso modo?





"B" scrivere f(x)=ln(x^2-4x)-ln(x-3) equivale a scrivere [ln(x^2-4x)]/ln(x-3) ?


No, la proprietà del logaritmo che vuoi applicare è:

\ln(\alpha)-\ln(\beta)=\ln\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)

ma attenzione, vale solo quando \alpha, \beta>0

Possiamo quindi affermare che:

\ln(x^2-4x)-\ln(x-3)=\ln\left(\frac{x^2-4}{x-3}\right)\quad\forall x>4

Domanda importantissima:

E' vero che:

\ln\left(\frac{x^2-4}{x-3}\right)=\ln(x^2-4x)-\ln(x-3)?

La risposta non è così scontata come può sembrare
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Re: risoluzione di funzioni/equazioni e campo di esistenza 15/05/2012 05:14 #18264

  • federicoverona
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grazie mille Ifrit...anche in questi orari presente?

nelle mie linee continue e non (con il copia e incolla) mi si sono spostati dei simboli..cosi mi veniva tra 0 e 3 che entrambe presentavano linee non continue che io scrivevo come - (meno) cosi avevo meno sopra e meno sotto e scrivevo +..

ma trovare il campo di esistenza o la soluzione, cambia qualcosa? se di quella equazione sopra avessimo voluto trovare non il campo di esistenza ma la soluzione come ci si comportava?

cmq grazie mille
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Re: risoluzione di funzioni/equazioni e campo di esistenza 15/05/2012 07:29 #18273

  • Danni
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Ciao Federico

Allora, come dice giustamente Ifrit è necessario distinguere quando effettuare un prodotto grafico, un'intersezione o un'unione.

1) Prodotto grafico
* nella discussione di una disequazione intera o fratta

(x - 1)(x^{2} - 4)> 0

x > 1

x < - 2 \vee x > 2

Quindi:

--------- 1 ++++++++++++
+++ -2 ---------- 2 ++++

verso > 0, la disequazione è verificata per

- 2 < x < 1 \vee x > 2{

* per il campo di esistenza di radicale ad indice pari

f(x) = \sqrt{x(x + 3)(1 - x)}}

x \geq 0

-3\leq x\leq1

-------- 0 ++++++++
--- -3 +++++++ 1 --

verificata per

x\leq-3\vee0\leq x\leq1

* per il campo di esistenza di un logaritmo

f(x) = ln\frac{x}{x^{2} - 1}

x > 0

x < - 1\vee x > 1

------- 0 +++++++
++ -1 ----- 1 +++

verificata per

- 1 < x < 0\vee x > 1

Regolette utilissime che valgono sia per le intere che per le fratte:

* se al primo membro hai due soli termini
a) il segno della variabile è concorde con il verso (entrambi positivi o entrambi negativi): valori esterni
b) il segno della variabile è discorde con il verso (uno positivo e l'altro negativo): valori interni
Conviene ovviamente che la variabile al primo membro sia positiva, in caso contrario la rendi positiva tu

\frac{x}{x - 1}\geq 0

le variabili sono positive, il verso pure: valori esterni (ricorda di non attenuare MAI i valori corrispondenti al denominatore)

x\leq 0\vee x > 1


- x(x - 1) > 0

rendiamo positiva la x cambiando segno e verso:

x(x - 1) < 0

x positiva, verso negativo, valori interni

0 < x < 1

* per evitare schemi infiniti,se al primo membro figurano tre o più termini li prendi a coppie per valori esterni. Se ne resta uno, lo imponi > 0

x(x - 1)(x - 3)(x + 2)(x - 5) < 0

x < 1\vee x > 3

x < - 2\vee x > 5

x > 0

e procedi normalmente con lo schema scegliendo gli intervalli in cui il prodotto è negativo (verso < 0)
Anziché uno schema di 5 righe hai uno schema di 3 righe, di più facile lettura.

2) Intersezione (sistema)
Quando è necessario che per la realtà dell'espressione tutte le condizioni siano verificate contemporaneamente:

a) se hai due o più radicali quadratici
b) se hai due o più logaritmi, come nel tuo esempio.

f(x) = \sqrt{x} - \sqrt{x - 1}

\left\{\begin{matrix}x\geq 0 \\ x\geq 1\end{matrix}\right

sistema verificato per

x\geq 1

.. 0 ************
........ 1 ******

Vedi? Nessun prodotto dei segni ma dove i tratti sono tutti pieni.
E' lì che entrambe le disequazioni sono verificate contemporaneamente.
Lo stesso per due o più logaritmi, ricordando il verso stretto e non attenuato.

3) Unione
Tipico esempio le modulari o le irrazionali: se da un'equazione di questi due tipi hai ottenuto due sistemi (o più sistemi nel caso della modulare) unisci i risultati su un'unica linea.
Ammettiamo che tu abbia ottenuto un sistema verificato per

1 < x < 2

ed un altro verificato per

x > 3}

unisci:

... 1_____2 .... 3 _________


Per quanto riguarda l'equazione (o disequazione) una cosa è il campo di esistenza ed un'altra è la risoluzione. Se hai

log_{3}(x - 4) = 2

Per la realtà del logaritmo è

x > 4

Ora risolviamo:

log_{3}(x - 4) = log_{3}(3^{2})

x - 4 = 9

x = 13

La soluzione è compatibile con la condizione iniziale (x > 4) ed è accettabile.

Se fosse stato x = 3, l'equazione non avrebbe avuto soluzioni in campo reale.

Spero che sia abbastanza chiaro, per qualsiasi dubbio chiedi pure.

Ciao*
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Ringraziano per il messaggio: Omega, Pi Greco, Ifrit, federicoverona

Re: risoluzione di funzioni/equazioni e campo di esistenza 15/05/2012 18:29 #18378

  • federicoverona
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ehehehe Danni sto ridendo perchè hai fatto un lavoro utilisimo (ovvio che rido di felicità)..questa paginetta è assolutamente da stampare...
tutto perfettamente ordinato e chiaro

grazie mille
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Ringraziano per il messaggio: Omega, Pi Greco, Danni
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