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Due integrali immediati?
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Due integrali immediati?

Due integrali immediati? 09/05/2012 17:55 #17214

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Salve! Mi sono imbattuta in questi due integrali immediati, almeno secondo il libro di testo:

\int e^{1-2x}+ x^3 e^{x^4}dx

\int \sin^3(x)dx

Fino ad ora abbiamo fatto solo integrali facili facili, del tipo f'(x)f(x)^{\alpha} e \frac{f'(x)}{f(x)}.

Qui come devo procedere? Come faccio a capire di che tipo di che integrali si tratta?
Ringrazio in anticipo!

 

 

Due integrali immediati? 09/05/2012 18:33 #17221

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Ciao SweetLove iniziamo subito con il primo:

\int e^{1-2x}+ x^3 e^{x^4}dx

per prima cosa spezziamo l'integrale della somma come somma degli integrali. E' una delle proprietà degli integrali più ricorrente negli esercizi.

\int e^{1-2x}+ x^3 e^{x^4}dx= \int e^{1-2x}dx+\int x^3 e^{x^4}dx

Concentriamoci sul primo integrale:

\int e^{1-2x}dx= \int e\cdot e^{-2x}dx

Qui ho utilizzato una proprietà della funzione esponenziale.

 \int e\cdot e^{-2x}dx= e\overbrace{\int e^{-2x}dx}^{integrale\,\, noto}= e\cdot\left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right)+c=-\frac{e^{1-2x}}{2} +c

Concentriamoci ora sul secondo integrale:

\int x^3 e^{x^4}dx

è quasi un integrale della forma:

\int f'(x)e^{f(x)}dx=e^{f(x)}+c

nota infatti che:

f(x)=x^4\implies f'(x)= 4x^3

Ci manca un 4 per ottenere l'integrale notevole, ma noi non ci preoccupiamo, moltiplichiamo e dividiamo per 4:

\frac{1}{4}\int 4x^3 e^{x^4}dx

Abbiamo ottenuto l'integrale nella forma che volevamo!

= \frac{1}{4}e^{x^4}+c

Possiamo quindi concludere che:

\int e^{1-2x}+ x^3 e^{x^4}dx= \overbrace{-\int e^{1-2x}dx}^{\frac{e^{1-2x}}{2}}+\overbrace{\int x^3 e^{x^4}dx}^{\frac{e^{x^4}}{4}}=

=-\frac{e^{1-2x}}{2}+ \frac{e^{x^4}}{4}+c

Questo è il primo, se avessi dubbi sai cosa fare!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, xavier310, Danni, SweetLove

Due integrali immediati? 09/05/2012 18:50 #17224

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Adesso procediamo con il secondo:

\int \sin^3(x)dx

nota che:

\sin^3(x)= \sin^2(x)\sin(x)

per la relazione fondamentale della trigonometria (formule trigonometriche) abbiamo:

\sin^2(x)= 1-\cos^2(x)

La funzione integranda si riscrive come:

\sin^3(x)= (1-\cos^2(x))\sin(x)= \sin(x)- \cos^2(x)\sin(x)

Quindi l'integrale da risolvere diventa:

\int \sin(x)-\cos^2(x)\sin(x)dx=

Spezziamo l'integrale della somma come somma di integrali:

\int \sin(x)dx- \int \sin(x)\cos^2(x)dx

Il primo integrale è immediato infatti:

\int \sin(x)dx= -\cos(x)+c

mentre il secondo è del tipo:

\int [f(x)]^{\alpha} f'(x)dx= \frac{[f(x)]^{\alpha+1}}{\alpha+1}+c\quad\alpha\ne -1

Nel nostro caso:

f(x)= \cos(x)\implies f'(x)= -\sin(x)

Ci manca un segno meno, ma non importa: siamo furbi! xD

\int \sin(x)\cos^2(x)dx= -\int-\sin(x)\cos^2(x)dx=

-\frac{\cos^{2+1}(x)}{2+1}= -\frac{\cos^3(x)}{3}+c

Di conseguenza:

\int \sin(x)-\cos^2(x)\sin(x)dx=\overbrace{\int\sin(x)dx}^{-\cos(x)}- \overbrace{\int\sin(x)\cos^2(x)dx}^{-\frac{\cos^3(x)}{3}}=

-\cos(x)-\left(-\frac{\cos^3(x)}{3}\right)+c=

-\cos(x)+\frac{\cos^3(x)}{3}+c

Se hai domande, dubbi, problemi, avvertimi
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, xavier310, Danni, SweetLove

Due integrali immediati? 10/05/2012 19:35 #17410

  • SweetLove
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Domande? Perché? è tutto così perfetto!
Dubbi? O spaccato!
Problemi? Nessuno

Insomma tutto perfettamente chiaro! Grazie
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, Ifrit, Danni

Due integrali immediati? 11/05/2012 21:57 #17636

  • Danni
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Ciao Dolce Amore
(traduzione letterale del nick e nessuno può dirmi nulla )

Niente di più antipatico che dire te l'avevo detto, però... te l'avevo detto che qui in YM avresti trovato il meglio
Ringraziano: Omega, Pi Greco
Os
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