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Applicazione del teorema di Lagrange, esercizio
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Ripetizioni di Matematica online

Applicazione del teorema di Lagrange, esercizio

Applicazione del teorema di Lagrange, esercizio 15/11/2011 20:13 #1151

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Devo risolvere un esercizio in cui devo applicare il teorema di Lagrange: si consideri la funzione f(x)=\log(2x) sull’intervallo [2,5] e si determini il punto x_0 ad esso appartenente da cui è verificata l’uguaglianza:

f'(x_0)=\frac{f(5)-f(2)}{3}

Come si fa ad applicare il teorema di Lagrange per arrivare alla tesi?
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Applicazione del teorema di Lagrange, esercizio 15/11/2011 21:07 #1166

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Eccomi! Prima di tutto enunciamo il teorema di Lagrange, sottolineando le ipotesi:

Sia f:[a, b]\longrightarrow\mathbb{R} una funzione tale che:

HP 1) f è una funzione continua in [a, b].

HP 2) f è una funzione derivabile in (a, b).

TS allora esiste (almeno) un valore x_0\in(a, b) tale che:

f'(x_0)= \frac{f(b)-f(a)}{b-a}


La funzione dell'esercizio è f(x)=\log(2x) ed è definita in un intervallo chiuso e limitato [2, 5] ed è in esso continua. L'ipotesi 1. è soddisfatta!

f è derivabile in (2, 5) anche l'ipotesi 2. è soddisfatta quindi il teorema di Lagrange ci assicura l'esistenza x_0\in (2, 5) tale che:

f'(x_0)=\frac{f(5)-f(2)}{5-2}.


dove

f(5)= \log 10
f(2)=\log 4

di conseguenza:

\frac{f(5)-f(2)}{5-2}= \frac{\log(10)-\log(4)}{5-2}= \frac{\log\frac{5}{2}}{3}

(qui ho usato una proprietà dei logaritmi)

Ti faccio notare che il teorema di Lagrange non ci dice come trovarlo 'sto benedetto x_0, ci dice "solo" che esiste e si trova nell'intervallo aperto (2, 5). Sarà nostro compito trovarlo esplicitamente. Per farlo dobbiamo risolvere l'equazione:

f'(x_0)=\frac{\log\frac{5}{2}}{3}

A questo punto calcoliamo la derivata prima di f:

f'(x)= \frac{2}{2x}=\frac{1}{x}

dunque l'equazione

f'(x_0)=\frac{\log\frac{5}{2}}{3}

diventa:

\frac{1}{x_0}=\frac{\log\frac{5}{2}}{3}

Da cui otteniamo che x_0= \frac{3}{\log \frac{5}{2}}.

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Utile?...

 

Applicazione del teorema di Lagrange, esercizio 15/11/2011 21:08 #1167

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Fantastico... B)

A proposito: del teorema di Lagrange ne parliamo in questo articolo.
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Applicazione del teorema di Lagrange, esercizio 19/11/2011 12:50 #1389

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spettacolare.. posso chiederti una cosa? (c' entra poco) ma come fate voi tutti a veder subito se la funzione è continua e derivabile così, non so se a occhio ma molto intuitivamente?
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Applicazione del teorema di Lagrange, esercizio 19/11/2011 14:35 #1403

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Esperienza e molta pratica non guastano, io molto spesso mi appoggio ai seguenti teoremi:

Teorema: La somma e il prodotto di funzioni continue è continua.
Teorema: La somma e il prodotto di funzioni derivabile è derivabile.
Teorema: La composizione di funzioni continue (derivabili) è continua (derivabile).

In questo caso abbiamo una funzione polinomiale \phi(x)=2x che è continua e derivabile su tutto \mathbb{R} e la funzione logaritmica \psi(t)=\log(t) che è continua e derivabile in (0, +\infty).

f(x)=\psi(\phi(x))=\log(2x) è composizione di funzioni continue e derivabili in (0, +\infty), dunque continua e derivabile nel dominio (e di conseguenza in ogni sottointervallo contenuto in esso).
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Ringraziano per il messaggio: pantheron

Applicazione del teorema di Lagrange, esercizio 19/11/2011 15:25 #1406

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Pantheron ha scritto:
ma come fate voi tutti a veder subito se la funzione è continua e derivabile così


Poi, mi permetto di aggiungere piuttosto e anzichenò, oltre a quanto detto dall'eccellente Ifrit, che anche considerazioni sul dominio di una funzione e sul dominio della derivata di una funzione ti conducono rapidamente ad individuarne i punti di discontinuità di seconda/terza specie (che nel caso della derivata prima si traducono in: punti di non derivabilità).

O meglio: restringono il campo di analisi e quindi velocizzano l'individuazione delle discontinuità (di seconda/terza specie).

Trova le discontinuità di una funzione e della sua derivata e saprai automaticamente dove è continua e dove è derivabile, se conosci anche l'insieme su cui la funzione e la sua derivata sono definite.

Poi ci sono delle funzioni note - troppo note - che hanno comportamenti problematici che saltano subito all'occhio: moduli, radici, logaritmi, funzioni razionali (=denominatori), parti intere, tangenti e affini, etc. etc....
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Ringraziano per il messaggio: Ifrit, pantheron

Applicazione del teorema di Lagrange, esercizio 20/11/2011 15:20 #1428

  • pantheron
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grazie ragazzi!!
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