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Soluzione di una espressione con frazione di potenze e radicali
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Ripetizioni di Matematica online

Soluzione di una espressione con frazione di potenze e radicali

Soluzione di una espressione con frazione di potenze e radicali 17/10/2012 11:14 #35686

  • Simone89
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Ciao ragazzi, ho da risolvere questa espressione che contiene una frazione di esponenti e radicali. Ho provato a farla un paio di volte ma non ottengo mai il risultato proposto nelle soluzioni, sono io o le soluzioni?
Ecco l'espressione

\frac{\sqrt{x^{2}-y^{2}} \cdot (x-y)^{\frac{1}{2}}}{\sqrt[4]{x+y}\cdot (xy)^{5}}

La soluzione proposta è

(x+y)^{\frac{1}{4}}\cdot  ( \frac{1}{x^{4}\cdot y^{5} }-\frac{1}{x^{5}\cdot y^{4} } )
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Ringraziano per il messaggio: Omega

 

ly

 

Re: Soluzione di una espressione con frazione di potenze e radicali 17/10/2012 13:24 #35705

  • Omega
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Ciao Simone89

Personalmente, se dovessi semplificare l'espressione, non arriverei al risultato proposto ma a qualcosa di più semplice. Tieni comunque conto del fatto che, per questi esercizi, non esiste la soluzione, esistono piuttosto diverse semplificazioni accettabili.

Per definizione di radicale

\sqrt{x^2-y^2}=[(x^2-y^2)]^{\frac{1}{2}}=

scomponiamo poi la base secondo la regola della differenza di quadrati

=[(x-y)(x+y)]^{\frac{1}{2}}=(x-y)^{\frac{1}{2}}(x+y)^{\frac{1}{2}}

Di conseguenza, grazie alle proprietà delle potenze

\sqrt{x^2-y^2}(x-y)^{\frac{1}{2}}=(x-y)^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}(x+y)^{\frac{1}{2}}

Ricomponiamo il tutto

\frac{(x-y)(x+y)^{\frac{1}{2}}}{(x+y)^{\frac{1}{4}}(xy)^5}=\frac{(x-y)(x+y)^{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}}{x^5y^5}=\frac{(x-y)(x+y)^{\frac{1}{4}}}{x^5y^5}

Per concludere

\frac{(x-y)\sqrt[4]{x+y}}{x^5y^5}

Personalmente la lascerei anche così.
Allenati con i giochi di Matematica e migliora le tue capacità logico-deduttive!
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Ringraziano per il messaggio: Pi Greco, Danni, Simone89

 

Utile?...

 

Re: Soluzione di una espressione con frazione di potenze e radicali 17/10/2012 16:18 #35736

  • Danni
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Ciao Simone
Per ottenere questo strano risultato, diamo per scontate tutte le condizioni di realtà compresa

x > y

\frac{\sqrt{(x + y)(x - y)^2}}{x^5y^5\sqrt[4]{x + y}}

Estraiamo il termine quadrato senza valore assoluto per l'ipotesi fatta:

\frac{(x - y)\sqrt{x + y}}{x^5y^5\sqrt[4]{x + y}}

Ora trasformiamo il radicale al numeratore portandolo da indice 2 a indice 4:

\frac{(x - y)\sqrt[4]{(x + y)^2}}{x^5y^5\sqrt[4]{x + y}}{}

Semplifichiamo:

\sqrt[4]{x + y}\cdot \frac{x - y}{x^5y^5}

Infine spezziamo la frazione:

(x + y)^{\frac{1}{4}}\cdot \left(\frac{1}{x^4y^5} - \frac{1}{x^5y^4}\right)

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Ringraziano per il messaggio: Omega

 

Re: Soluzione di una espressione con frazione di potenze e radicali 17/10/2012 22:26 #35783

  • Simone89
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Grazie mille ad entrambi
Danni,sono riuscito a capire tutti i passaggi,l'unica cosa che no capisco sono i segni iniziali.
Già dall'inizio al numeratore non dovrebbe essere:

\sqrt{(x-y)(x-y)^{2}}
?
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Re: Soluzione di una espressione con frazione di potenze e radicali 17/10/2012 22:35 #35785

  • Danni
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Eccomi

No, perché il numeratore ha

\sqrt{x^2 - y^2}\cdot \sqrt{x - y}

ovvero

\sqrt{(x + y)(x - y)}\cdot \sqrt{x - y}

quindi, sotto un unica radice:

\sqrt{(x + y)(x - y)^2}

Se hai ancora dubbi chiedi pure, sono qui
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Ringraziano per il messaggio: Omega, Pi Greco, Simone89

Re: Soluzione di una espressione con frazione di potenze e radicali 18/10/2012 15:06 #35827

  • Simone89
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Ora è chiarissimo
Grazie!
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