Matrici di passaggio e matrici simili

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Matrici di passaggio e matrici simili 05/02/2012 22:13 #7483

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Mi è venuto un dubbio tra le matrici simili e le matrici di passaggio facendo 2 esercizi, cioè non sono sicuro che sto facendo correttamente.

Il primo esercizio mi dava una matrice A, e mi chiedeva di trovare la matrice di passaggio P. Allora diagonalizzo e una volta trovati gli autovalori e autovettori determino la matrice P tale che

P^{-1}AP=D

dove D e la matrice diagonale.

La matrice P la ottengo dividendo i vari autovettori per la loro norma e poi utilizzando Gram-Schimdt, giusto?

Il secondo esercizio mi chiedeva invece di trovare la matrice simile ad una matrice B diagonalizzabile. Ogni matrice diagonalizzabile è simile ad una matrice diagonale che ha lungo la diagonale principale gli autovalori dell'endomorfismo; se P e la matrice che esprime il cambiamento di base, dalla base data alla base degli autovettori risulta

M=P^{-1}AP

quindi P la ottengo mettendo in colonna gli autovettori, o sbaglio?
 

Matrici di passaggio e matrici simili 06/02/2012 14:04 #7525

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Ciao Sant92,

ti chiedo una cosa: da dove nasce l'esigenza di ortonormalizzare i vettori per determinare la matrice di passaggio del primo esercizio?
Ringraziano: frank094

Matrici di passaggio e matrici simili 06/02/2012 15:25 #7531

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Giusto, in teoria non ha molto senso, quando applico Gram-Schimdt divido già per la norma...

Matrici di passaggio e matrici simili 07/02/2012 01:09 #7627

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Più che altro, non devi procedere applicando Gram Schmidt perché la matrice P tale per cui risulta che

P^{-1}AP=D

la ottieni disponendo per colonna gli autovettori associati agli autovalori di A e... basta.

Questo, naturalmente, se con matrice di passaggio intendi la matrice del cambiamento di base tra la base rispetto alla quale è scritta la matrice A e la base formata dagli autovettori di A.

La richiesta del secondo esercizio è esattamente la stessa, Basta ricordare la definizione di matrici simili: due matrici A,B si dicono simili se esiste una matrice N invertibile tale che

N^{-1}AN=B

Ora, chiaramente, se ti viene assegnata una matrice diagonalizzabile vien da sé che essa sia simile alla matrice stessa diagonalizzata, come d'altra parte hai già fatto notare tu...
Ringraziano: Pi Greco, frank094, Ifrit

Re: Matrici di passaggio e matrici simili 07/02/2012 16:10 #7680

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Perfetto, ho compreso tutto grazie!
Ringraziano: Omega
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