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Riduzione a scala e operazioni elementari
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Ripetizioni di Matematica online

Riduzione a scala e operazioni elementari

Riduzione a scala e operazioni elementari 06/09/2012 17:40 #30365

  • aristofane
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Ciao a tutti, sto cercando di capire come si risolve un sistema lineare, e ho dei dubbi sul metodo di riduzione a scala e sulle operazioni elementari nella riduzione della matrice:..

E' corretto operare in questo modo?

a) riduzione a scala e calcolo del rango della matrice completa e della matrice incompleta;

b) verifica se sono uguali, altrimenti per il th di Rouche-Capelli si può affermare che non ha soluzioni;

c) ricerca delle soluzioni;

Sbaglio qualcosa?

Apparte questo, ho dei problemi con la riduzione a scala attraverso le operazioni elementari delle matrici, ho cercato nel forum e ho trovato diversi esempi come questo:

Rango di una matrice con riduzione gaussiana

solo che mi sfugge come si passa da una matrice equivalente all'altra.

Mi potreste illuminare, anche con esempi banali?

Grazie in anticipo.
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Riduzione a scala e operazioni elementari 06/09/2012 18:47 #30377

  • Ifrit
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Ciao Aristofane, la prima parte è corretta , puoi procedere come dici tu!

A questo punto sorge la domanda: cosa non riesci a fare? La riduzione di Gauss è un metodo classico, che consiste nel trasformare la matrice A in una matrice triangolare superiore, così da rendere il sistema più facile da risolvere. Mi pare di capire che il tuo problema sia comprendere quali operazioni elementari utilizzare giusto?
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Utile?...

 

Riduzione a scala e operazioni elementari 06/09/2012 18:52 #30381

  • aristofane
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esatto, ho difficoltà a trovare operazioni elementari da svolgere per renderla in scala.
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Re: Riduzione a scala e operazioni elementari 06/09/2012 19:17 #30391

  • Ifrit
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Ok, provo a spiegarti come funziona, spero di non confonderti.

Supponiamo di avere il seguente sistema lineare:

\begin{cases}x+y+z= 1\\ x-y+z=1\\ x+y=2\end{cases}

La prima cosa da fare è costruire la matrice completa associata al sistema:

\left[\begin{matrix} 1 & 1&1&|&1 \\ 1 & -1&1&|&1\\1&1&0&|&2 \end{matrix}\right]

Il nostro intento è quello di annullare tutti i termini della prima colonna escluso il primo

Per annullare il primo termine della seconda riga dobbiamo sottrarla per la prima:

\begin{matrix}[(1&-1&1&|&1)-(1&1&1&|&1)= (0&-2&0&|&0)\end{matrix}

Sostituiamo la riga che abbiamo ottenuto nella matrice:

\left[\begin{matrix} 1 & 1&1&|&1 \\ 0 & -2&0&|&0\\1&1&0&|&2 \end{matrix}\right]


Ora dobbiamo annullare il primo termine della terza riga, e per farlo sottraiamo la terza riga per la prima:

\begin{matrix}[(1&1&0&|&2)-(1&1&1&|&1)= (0&0&-1&|&1)\end{matrix}

Sostituiamo il risultato ottenuto al posto della terza riga

\left[\begin{matrix} 1 & 1&1&|&1 \\ 0 & -2&0&|&0\\0&0&-1&|&1 \end{matrix}\right]

La matrice ottenuta è triangolare superiore quindi il metodo di Gauss è servito al suo scopo

Guardando la matrice è chiaro che il rango della matrice dei coefficienti è uguale al rango della matrice completa, dunque il sistema è compatibile.


Il sistema equivalente a quello dato è:

\begin{cases}x+y+z=1\\ -2y=0\\ -z=1\end{cases}

da cui si ottengono le soluzioni:

z=-1, y=0, x=2

Il procedimento generale per ridurre a scala è complicato da scrivere, (e poi è più facile da mettere in pratica che formalizzarlo).

Mi scuso, ho scelto un esempio abbastanza facile, ma spero che tu comprenda come funziona, nel caso non fosse chiaro, prova a postare un esempio, io cercherò di svilupparlo evidenziandone i passaggi
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Re: Riduzione a scala e operazioni elementari 06/09/2012 19:28 #30392

  • aristofane
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grazie mille, ora è più chiaro, provo ad esercitarmi e vedere se riesco
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