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Diagramma di Eulero Venn

Quando si ragiona sui problemi di insiemistica può essere estremamente utile dare una rappresentazione grafica degli insiemi stessi, motivo per il quale si ricorre al diagramma di Eulero Venn. Come si può disegnare un insieme? Esiste un metodo che impariamo sin dai primi anni di studio, e che permette di rappresentare graficamente e in modo astratto gli insiemi e le varie operazioni: la rappresentazione secondo Eulero Venn, per l'appunto.

 

Immaginiamo di avere un insieme finito o infinito. Un diagramma di Eulero Venn ne fornisce una rappresentazione semplice e intuitiva, e consiste nel disegnare l'insieme come una figura racchiusa all'interno di una linea chiusa non intrecciata (ad esempio un cerchio).

 

Se abbiamo a che fare con un insieme con un numero finito di elementi, potremo raffigurare l'insieme stesso con una figura chiusa e delimitata da una linea, all'interno della quale indicheremo ciascun elemento con un punto. Ad esempio

 

 

Diagramma di Eulero Venn per un insieme finito

 

 

Se invece vogliamo rappresentare un insieme con un numero finito di elementi, possiamo limitarci a disegnare una linea chiusa: la regione contenuta all'interno di tale linea, lasciata bianca, starà simbolicamente ad indicare gli infiniti elementi appartenenti all'insieme.

 

 

Diagramma di Eulero Venn per un insieme infinito

 

Diagramma di Eulero Venn per le operazioni insiemistiche


Insieme in un insieme universo


Se vogliamo disegnare un insieme A\subseteq E, ad esempio con un numero finito di elementi, e vogliamo rappresentare anche l'insieme universo E, possiamo disegnare il diagramma di Eulero Venn di A contenuto all'interno di un rettangolo.

 

La regola dei punti vale come indicato poche righe sopra: se l'insieme universo ha un numero infinito di punti, e A ne ha un numero finito, lasciamo in bianco la parte interna ad E ma esterna ad A e segniamo i punti per indicare gli elementi di A.

 

 

Diagramma di Eulero Venn per insieme finito contenuto in un insieme universo infinito

 

 

Se invece anche E è costituito  da un numero finito di elementi, dovremo indicare gli elementi di E che non stanno in A all'interno del diagramma di E ma all'esterno di quello di A.

 

 

Diagramma di Eulero Venn per insieme finito contenuto in un insieme universo finito

 

 

Esempio

 

Rappresentare con un diagramma di Eulero Venn l'insieme dei numeri dispari tra i primi 10 numeri interi positivi:

 

E=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}

 

A=\{1,3,5,7,9\}

 

 

Diagramma di Eulero Venn con elencazione degli elementi

 

 


 

 

Rappresentare gli insiemi con i diagrammi è molto utile perché permette di avere un'idea visiva delle varie operazioni che si possono effettuare tra gli insiemi. Di seguito mostriamo a quali diagrammi corrispondono il complementare di un insieme, l'inclusione di un insieme in un altro, l'unione, l'intersezione e la differenza insiemistica tra due insiemi. Giusto per rendere l'idea, useremo le rappresentazioni senza punti.

 

Diagramma di E-V per il complementare

 

Se abbiamo un insieme A\subset E e vogliamo rappresentare il diagramma di Eulero Venn del suo complementare, dobbiamo prendere la parte di E esterna ad A.

 

 

Diagramma di Eulero Venn per il complementare

 

Diagramma di E-V per l'inclusione

 

Se un insieme A\subset E è contenuto in un altro insieme B\subset E (sottoinsieme), e quindi A\subset B\subset E, per rappresentarli dovremo disegnare il diagramma di Eulero Venn di A all'interno di quello di B.

 

 

Diagramma di Eulero Venn per un insieme contenuto in un altro

 

Diagramma di E-V per l'intersezione

 

Prendiamo due insiemi A,B\subset E, e immaginiamo che essi siano ad intersezione non vuota. In tal caso possiamo rappresentare il diagramma di Eulero Venn sovrapponendo una parte dei due insiemi. L'intersezione sarà proprio la parte in comune tra i due insiemi

 

 

Diagramma dell'intersezione

 

 

Se invece i due insiemi sono ad intersezione vuota non dovremo segnare nulla

 

 

Intersezione vuota tra due insiemi

 

Diagramma di E-V per l'unione

 

Per quanto riguarda il diagramma dell'unione di due insiemi A,B\subset E dovremo semplicemente colorare tutta la parte del disegno interna ai due insiemi

 

 

Diagramma di Eulero Venn per l'unione

 

Diagramma di E-V per la differenza insiemistica

 

Per disegnare la differenza insiemistica tra due insiemi A,B\subset E dobbiamo distinguere due casi:

 

 

1) se A\cap B=\emptyset, cioè se l'intersezione tra A e B è l'insieme vuoto, la differenza A-B coincide con A

 

 

Differenza insiemistica tra insiemi disgiunti

 

 

2) Se invece i due insiemi si intersecano, dovremo colorare solamente la parte di A che si trova al di fuori di B.

 

 

Differenza insiemistica tra insiemi

 

 


 

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Diagramma di Eulero Venn