Sottoinsiemi propri e impropri

I sottoinsiemi di un insieme E sono definiti come insiemi che contengono una parte degli elementi dell'insieme E, o eventualmente tutti. Un sottoinsieme proprio è un sottoinsieme che contiene solo una parte degli elementi di E, mentre un sottoinsieme improprio può essere solamente vuoto o coincidere con E.

 

In questa lezione vogliamo enunciare e spiegare la definizione di sottoinsieme, per poi parlare dei due possibili tipi di sottoinsiemi che si possono incontrare: i sottoinsiemi propri e impropri, spiegando il tutto con parole semplici e con qualche esempio.

 

Definizione di sottoinsieme

 

Siano A \ \mbox{e} \ E due insiemi. Diremo che A è un sottoinsieme di E se ogni elemento di A appartiene ad E. Volendoci esprimere in matematichese:

 

A \ \mbox{sottoinsieme di E}\ \iff\ \forall x \in A: \ x \in E

 

e leggeremo: per definizione A è un sottoinsieme di E se e solo se, per ogni x appartenente all'insieme A, risulta che x appartiene all'insieme E.

 

In simboli scriveremo

 

A\subseteq E

 

Possiamo dividere i sottoinsiemi di un insieme in due categorie: i sottoinsiemi propri ed i sottoinsiemi impropri. Vediamoli nel dettaglio.

 

Sottoinsiemi propri

 

Immaginiamo di avere un insieme E, ed un qualsiasi sottoinsieme A costituito da elementi di E.

 

Diciamo che A\subseteq E è un sottoinsieme proprio di E, o che A è contenuto propriamente in E o ancora che A è incluso propriamente in E, se tutti gli elementi di A appartengono ad E e se esiste almeno un elemento di E che non appartiene ad A.

 

In questo caso useremo una notazione più specifica e scriveremo

 

A\subset E

 

In simboli

 

A\subset E\ \iff\ \forall x \in A: \ x \in E\ \wedge\ \exists \overline{x}\in E:\ \overline{x}\not\in A

 

dove il simbolo \wedge ha il significato di congiunzione logica "e". In parole povere, un sottoinsieme proprio A di E è un insieme contenuto in E, che però non può coincidere con E.

 

Esempi di sottoinsiemi propri

 

1) Se prendiamo E=\{1,2,3,4,5\}, allora sono sottoinsiemi propri di E

 

\{1\}\mbox{, }\{3,4,5\}\mbox{, }\{1,2,3,4\}\mbox{, }\{4,5\}.

 

Non è invece contenuto propriamente in E l'insieme E stesso.

 

Notiamo che in base alla definizione di sottoinsieme E=\{1,2,3,4,5\} è un sottoinsieme di sé stesso, che però coincide con sé stesso, quindi non possiamo scrivere E\subset E, perché non esiste alcun elemento di E che non sia contenuto in E (ovviamente!).

 

 

2) Se consideriamo due insiemi come quelli in figura

 

 

Sottoinsieme proprio

 

 

si vede subito che A è contenuto in E, ma non contiene tutti gli elementi di E ed è dunque un suo sottoinsieme proprio: A\subset E.

 

Sottoinsiemi impropri

 

Questa definizione è un po' più delicata, ma non è comunque difficile: si definisce sottoinsieme improprio di E un qualsiasi sottoinsieme A, costituito da elementi di E, tale che ogni elemento appartenente ad E appartiene anche ad A.

 

In questo caso scriviamo

 

A\subseteq E

 

e diciamo che A è contenuto impropriamente in E, o che A è incluso impropriamente in E.

 

Si capisce subito che un insieme E è sempre sottoinsieme improprio di sé stesso: E\subseteq E. In realtà, però, questa non è l'unica possibilità: per fare in modo che una definizione sia consistente in Matematica, essa deve abbracciare qualsiasi caso possibile.

 

Consideriamo allora il caso dell'insieme vuoto E=\emptyset e rileggiamo la definizione. Possiamo vedere facilmente che anche l'insieme vuoto è un sottoinsieme improprio di sé stesso. Infatti ogni elemento di \emptyset, cioè nessun elemento, appartiene ad E=\emptyset. Il nulla che appartiene a \emptyset appartiene anche ad E=\emptyset. ;)

 

Per far quadrare la definizione si è soliti considerare per convenzione anche l'insieme vuoto come un sottoinsieme improprio di qualsiasi insieme. In questo modo, comunque si considera un insieme E, abbiamo sempre e solamente due sottoinsiemi impropri

 

A=\emptyset\ \mbox{ oppure }\ A=E

 

Esempi di sottoinsiemi impropri

 

Dato E=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}, gli unici due sottoinsiemi impropri sono A=E e A=\emptyset.

 

 

...Avrai capito subito che non ha molto senso dilungarsi in questo tipo di esempi, perché per quel che abbiamo visto per qualsiasi insieme dato abbiamo sempre e solo due sottoinsiemi impropri... ;)

 

 


 

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Agente Ω

 

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