Differenza tra insiemi

Proprio come accade nel caso dei numeri, per i quali è definita una differenza (o sottrazione), anche nel caso degli insiemi è possibile calcolare le differenze. La differenza insiemistica è un'operazione che, dati due insiemi A,B\subset E, sottrae agli elementi del primo insieme gli elementi del secondo insieme.

 

 

Più precisamente: consideriamo due insiemi A,B\subset E dove E indica l'insieme universo. Definiamo la differenza tra gli insiemi A e B, e la indichiamo con A-B, come l'insieme definito da

 

A-B=\{x\in A\mbox{ tali che }x\notin B\}

 

Cosa rappresenta in soldoni la scrittura A-B ? Nient'altro che l'insieme degli elementi di A che non appartengono a B.

 

Un modo del tutto equivalente per definire la differenza insiemistica fa riferimento alla nozione di insieme complementare e di intersezione

 

A-B=A\cap B^C

 

In parole povere, calcolare la differenza insiemistica tra un insieme A e un insieme B equivale a prendere A ed eliminare da esso gli elementi di B che stanno in A. Gli elementi di B che non stanno in A non hanno alcun effetto sulla differenza.

 

 

Nota bene: parliamo della differenza di insiemi anche nella lezione sul diagramma di Eulero Venn.

 

Esempi di differenze tra insiemi

 

1) Siano E=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} e

 

A=\{1,3,5,7\}\ ,\ B=\{1,3,8,9\}

 

Allora:

 

A-B=\{5,7\}

 

B-A=\{8,9\}

 

Come si può notare, la differenza insiemistica non è commutativa e dunque l'ordine degli insiemi nella differenza è fondamentale.

 

 

2) Sia E=\mathbb{N}=\{\mbox{ numeri naturali }\}, e sia P=\{\mbox{ numeri pari }\}. Allora

 

\mathbb{N}-P=D=\{\mbox{ numeri dispari}\}

 

P-\mathbb{N}=\emptyset infatti l'insieme dei numeri pari è contenuto in quello dei numeri naturali, e quindi il risultato della differenza è l'insieme vuoto.

 

 

3) (Esempio per chi è almeno in quinta liceo!) Prendiamo gli intervalli reali 

 

[0,1),[2,5],(3,4],[5,6]

 

Abbiamo allora, ad esempio

 

[0,1)-[2,5]=[0,1)

 

[2,5]-(3,4]=[2,3]\cup (4,5]

 

[5,6]-[2,5]=(5,6]

 

Principali proprietà della differenza insiemistica

 

In base alle considerazioni appena viste, si vede subito che qualunque sia A\subset E

 

A-\emptyset=A

 

\emptyset-A=\emptyset

 

e che

 

A-E=\emptyset

 

E-A=A^C

 

 


 

Ora sai tutto quello che c'è da sapere sulla differenza tra insiemi, e se dovessi avere dubbi o domande non esitare a chiedere: apri pure una discussione nel Forum, e prova a fare un paio di ricerche qui su YM...tra le decine di migliaia di problemi che abbiamo risolto, potrebbe esserci anche il tuo. Wink

 

 

Vale, see you soon guys!

Agente Ω

 

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